行列式定义的来源

作者: 东方胖 | 来源:发表于2023-07-07 21:40 被阅读0次

行列式
行列式
行列式的一种解法
行列式——特殊行列式的总结
2018-03-05
2018-03-05
行列式的来历
行列式定义
线性代数——(4)行列式
高等代数理论基础14：n级行列式

一维矩阵的行列式和单独的实数无甚区别
考虑二维矩阵
$\left (\begin{array}{} a &b \\ c &d \\ \end{array}\right)$

由它构造一个二阶线性方程组
$ax_{1} + bx_{2} = m_1 \\ cx_{1} + dx_{2} = m_2$

用高斯消元方法将变量 $x_2$ 消去，这样的话，我们可以让第1 个方程乘以d 再减去第二个方程乘以 b 即

$方程 1 \times d - 方程 2 \times a$
得到 $(ad - cb)x_1 = m_1d - m_2b$
$x_1 = \frac{m_1d-m_2b}{ad-bc}$
同样的方法可以得到另一个未知量 $x_2$
$x_2 = \frac{m_2a - m_1c}{ad - bc}$

只要 $ad \ne bc$ 上面就没什么问题， $x_1, x_2$ 有唯一的解

三阶线性方程组是什么样的？需要更复杂一点的符号计算，假设方程组是
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \quad (1)\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \quad (2)\\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \quad (3)\\$

让
$(1) \times a_{23} - (2) \times a_{13 } \\ (2) \times a_{33} - (3) \times a_{23}$
得到两个消去了 $x_3$ 的方程变成了二元线性方程
$(a_{11}a_{23} - a_{21}a_{13})x_1-(a_{12}a_{23} - a_{22}a_{13})x_2 = b_1a_{23} - b_2a_{13} \\ (a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23})x_1 - (a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23})x_2 = b_1a_{33} - b_2a_{23}$
套用二元线方程的结论，可以得到
$x_1 = \frac{(b_1a_{23} - b_2a_{13})(a_{32}a_{23} - a_{22}a_{33}) - (b_1a_{33} - b_2a_{23})(a_{22}a_{13} - a_{12}a_{23})}{(a_{11}a_{23} - a_{21}a_{13})(a_{32}a_{23} - a_{22}a_{33}) - (a_{22}a_{13} - a_{12}a_{23}) (a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23})}$
观察分母
$M = -a_{23}(a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} + a_{21}a_{13}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{23}a_{31})$

分子
$N = -a_{23}(-b_1a_{23}a_{32} + b_2a_{13}a_{32} + b_1a_{22}a_{33} - b_2a_{22}a_{13} - b_1a_{12}a_{33} + b_2a_{12}a_{23})$
约去 $a_{23}$
式子 $D = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} + a_{21}a_{13}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{23}a_{31}$ 只和矩阵

$\left (\begin{array}{} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$
的元素有关，这些线索可以归纳出矩阵的一种运算出来，即行列式。
二阶的是对角线上的元素相乘并作差，三阶就是上面的 $D$ , 基本上每项都是每列中不重行地选出一项相乘，另外注意符号(符号的规律较为复杂，深入研究，它也是有规律的，成为一个排列的逆序数)
最后归纳出 n 阶方阵的行列式定义为
$det(A_n) = \sum_{p_1p_2···p_n} (-1) \tau(p_1p_2···p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}···a_{np_n} \\ p_1 p_2 ··· p_n 取遍 {1,2,...,n}的所有排列$