利用累加法求数列通项公式

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-10-20 08:19 被阅读0次

利用累加法求数列通项公式
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利用累加法求数列通项公式

方法三利用累加法求数列通项公式

使用情景：型如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 或 $a_{n+1}=a_n+f(n)$

解题步骤：

第一步将递推公式写成 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ ；

第二步依次写出 $a_n-a_{n-1}$ ，…， $a_2-a_1$ ，并将它们累加起来；

第三步得到 $a_n-a_1$ 的值，解出 $a_n$ ；

第四步检验 $a_1$ 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

【例】数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ ，对任意的 $n\in N^*$ 都有 $a_{n+1}=a_1+a_n+n$ ，则 $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+…+\dfrac{1}{a_{2016}}=$ （）

A、 $\dfrac{2015}{2016}$

B、 $\dfrac{4032}{2017}$

C、 $\dfrac{4034}{2017}$

D、 $\dfrac{2016}{2017}$

【答案】B

【解析】

$\because a_{n+1}=a_n+n+1$ ，

$\therefore a_{n+1}-a_n=n+1$ ，

即 $a_2-a_1=2$ ， $a_3-a_2=3$ ，…， $a_n-a_{n-1}=n$ ，

等式两边同时相加得 $a_n-a_1=2+3+4+…+n$ ，

即 $a_n=a_1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ，

则 $\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{2}{n(n+1)}=2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ ，

$\therefore \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+…+\dfrac{1}{a_{2016}}=2\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2017}\right)=\dfrac{4032}{2017}$ ，

故选：B.

【总结】本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键．在求数列前 $n$ 项和之前，必须先求出其通项公式，根据通项公式的特征决定采用何种方法，根据数列的递推公式 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ ，可利用累加法求出数列的通项公式，根据 $\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{2}{n(n+1)}=2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ 结合裂项法进行求和即可．