Week 6

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-04-12 01:23 被阅读0次

P. Saad, S. H. Shenker, D. Stanford, & Shunyu Yao, "Wormholes without averaging"

感谢peng老师的review。也看了Saad去年在 Island Hopping 2020报告，从报告的内容来看，Saad开始是受了Morolf&Maxfield 2D topological surface理论的启发。

我们可以问这样一个问题: 半经典引力计算到底可以给出多少量子引力的性质？但是在问这个问题之前，一个首先要回答的问题是，量子引力的性质是指什么？
可能之前大家是觉得，如果我们可以解决information paradox，就能对量子引力有更深的理解。可是令人吃惊的是，我们还是可以用半经典的引力计算来推导Page curve。霍金推导的错误是在他忽律了其他saddle point存在的可能。我们可以用欧式的路径积分prepare 一个state，但是我们并不能直接用欧式路径积分算比如free energy等其他的物理量。更具体的是，我们可以用路径积分直接算partition function $Z$ , 但是并不能算 $f(Z)$ , $f$ 是一个函数。所以可能出现的问题如果 $Z^\star$ 是 $Z$ 的saddle point approximation，那么可能 $f(Z^\star)$ 并不是 $f(Z)$ 的saddle approximation。这就导致了factorizatoin puzzle：
$(Z^2)^\star\neq Z^\star Z^\star.$

当然这可能只是因为使用了saddle point approximation的缘故，但是这样来理解的话，就和以前说半经典的计算会导致information paradox 的情况类似。所以我们更倾向于认为，我们对于引力的半经典计算，或者说是saddle point approximation还没有完全理解。

$f(Z)^\star\neq f(Z^\star)$ 的一个直觉的理解是因为存在wormhole。解决 $(Z^2)^\star\neq Z^\star Z^\star$ puzzle的一个方法是说引力对应的理论不是一个固定的理论而是一个ensemble average。所以自然的想法就是ensemble average 和 wormhole 是有联系的。这篇文章的一个重要结论就是，即使是在一个确定的理论里面，做saddle point approximation的时候也是有wormhole的贡献的。

但是更重要的结论是，除了wormhole 还有其他的saddle point，他们称为half wormhole, 原因就是他们不是 $Z$ 的saddle 但是是 $Z^2$ 的saddle。把wormhole hole 与half wormhole 合在一起后才会有factorization。

这些结论还只是建立在一个简单0+0维理论的计算上。这个理论是不含时间的类似SYK但是不做average的理论。SYK本身是有很多自由度的（N 个费米子）,一般我们说saddle point approximation是指经典运动方程解(因为不含时间，运动方程就是一个代数方程)的贡献，但是这里我们可以引入一个collective 坐标 $G,\Sigma$ 。

我们考虑2个这样的理论 $Z^2=Z_LZ_R$ ，他们之间没有相互作用。但是我们可以引入collective coordinate ，形式上把他们couple起来，

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$\delta$ function 可以写成 $\Sigma$ 的积分。他可以写成

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其中 $\Psi$ 是与coupling 无关的，而 $\Phi$ 等于

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这里 $\sigma$ 是 $\Sigma$ 做Wick 转动后得到的参数。

我们想用saddle point approximation 来算 $\Phi$ ，但是我们不会直接算。我们只会average的量，所以当 $\Phi$ 和 $\langle \Phi\rangle$ 的差别不大的时候，我们通过 $\langle \Phi\rangle$ 的saddle 来估计。比较 $\Phi$ 与 $\langle \Phi\rangle$ ，我们可以算 $\langle \Phi^2\rangle$ 与 $\langle \Phi\rangle^2$ 来估计。 $\langle \Phi^2\rangle$ 就可以用saddle point approximation 了，会发现有两种可能的saddle，一种没有replica wormhole 但是 $\sigma\neq 0$ ，也就是说在这个saddle里 $\psi_L$ 和 $\psi_R$ 有相互作用，所以这个这个saddle 对应了wormhole。还有一种saddle是 $\sigma=0$ ,没有wormhole 但是有replica wormhole 即有 $\psi_L \psi_{L'}$ 的作用。最后我们要比较这两种saddle，看哪个是主导的。

如果后一种saddle 主导， $\Phi$ 就不是self-averaging的。

如果wormhole占主导，可以计算得 $\Phi$ 与 $\langle \Phi \rangle$ 的差别不大，也就是说是 self-averaging的。我们就可以用这个贡献来近似 $Z^2$ 。但是 $Z^2$ 本身并不是self-averaging，所以即使wormhole占主导， $Z^2$ 的正确的saddle point approximation 应该是

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其中wormhole 的贡献是universal的，不依赖于coupling(不依赖于moduli), 而half wormhole是依赖coupling的(依赖moduli).

文章的想法很好，如果wormhole的贡献是破坏factorization的根源，那么如果一个确定的理论，即它是满足factorization的，如果在用saddle point approximation时候，有wormhole的saddle的话，那么一定会有其他的saddle来cancel掉wormhole的结果。
文章确实声称找到了这样的wormhole的saddle，但是找到方法不是很直接：比如我可以这样想，如果我知道一个理论他在取某个参数空间是self averaging的，那么当然在这个参数空间里，这个确定的理论与一个average的理论是等价的，也就是说他们在做saddle point approximation的时候会得到同样的结果，既然average理论有wormhole saddle，我当然也可以认为确定的理论也有wormhole saddle。反过来也一样，既然确定的理论是factorized，那么average理论的所有saddle 加一起应该也是可以满足factorization。所以问题的核心是这个参数空间是哪来的。

再看看这个公式

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不一定是SYK，对于任意的理论，我们总是可以这样人为的引入相互作用。而且对于 $\psi$ ，总是又有一个trivial的saddle point就是所有的 $\psi$ 都为0. 但是这个trivial saddle好像没有什么物理意义，

Week 6

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