《第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初二组）》填空题第4题（最后一题）：
这种题目，无他，缩小包围圈就完了。
正如前几次所言，你要是当真排列组合一个个验证，先把111以下的b的平方找出来，再验证可能的a、b、c的尾数要等于1什么的，还没出考场，就先入了病房了 —— 你得累成狗。
先说一下小编的思路：
在a、b、c三个数中，小编以为最值得琢磨的是b，为什么呢？因为
1、在a和c之间，它承上启下；
2、容易展开想象，它在已知条件中有个平方（平方的根是容易让人浮想联翩的兴奋点哦）。
闲话休叙，直接解题！
第一次缩小包围圈：
第二次缩小包围圈（果断加入浪漫联想）：
一剑封喉：
这最后一步有待切磋哈，有木有再缩包围圈的可能？欢迎各位大侠、学霸留言指教！
网友评论
ac=b^2则有a，b，c等比数列。原式化简为a+b+c=a+aq+aq^2=111。
其次：
a（1+q+q^2）=111中，a，b，c为自然数，等式两边同时除以1+q+q^2，则满足等式右边的数为整数，因此1+q+q^2为111的约数。
再者：
1+q+q^2中q为有理数才满足aq，aq^2为自然数。则满足条件的q可为自然数1，111，37，3。也可为m/111，m/3，m/37（m为自然数）
1⃣️1+q+q^2=111，解得原式q为无理数，舍去。
2⃣️1+q+q^2=1，同样解不为正整数，舍去。
3⃣️1+q+q^2=3，q=-2或1。但1不满足a大于b大于c。因此无解
4⃣️1+q+q^2=37，解之得q为无理数。那么只能出现上述的m/111，m/3，m/37的情况。
5⃣️1+q+q^2=m/111或m/37或m/3时，分别存在m=4170/16，1269/16，111/16时满足条件abc为自然数，之和为111，此时a同为唯一解48，q同为唯一解3/4。则a=48，b=36，c=27。
具体步骤及分析过程表述不便。