初中学了简单了胡克定律，高中的时候力变成了向量，而大学里应力应变都变成了2阶张量，同样是胡克定律，在不同的尺度下，却有不同的含义。

标量尺度

我们初中学过胡克定律，即在弹性范围内，弹簧的伸长和所施加的力成正比：

用公式表达就是：

正交对称Orthotropic

正交对称有两个对称面（可以证明：有两个对称面一定会有第三个），典型的正交对称材料是木头

木头的性质沿着半径方向，圆周方向以及轴向是不同的。
在直角坐标系下，如果坐标基矢量e1，e2，e3垂直于3个对称面，那么刚度张量元素个数可以从21个减小到9个：

横断对称Transversely isotropic

横断对称有一个对称轴，很多复合材料和生物薄膜材料都是横断对称的。
在直角坐标系下，如果坐标基矢量e3和对称轴重合，那么刚度张量元素个数可以进一步从9个减小到5个：

立方对称cubic symmetry

立方对称是最简单的各向异性情况,这时刚度矩阵元素个数为3个：

各向同性isotropic

终于到了各向同性，这一我们最常应用的情况，各向同性的材料，顾名思义，材料在各个方向上的性质是一样的，也可以说它有无穷多个对称面。各向同性的材料，刚度矩阵元素个数为2。
在直角坐标系下，公式表示为：

矩阵表示为：

其中，lamda等于：

u等于：

所以上式变为：

总结

仿佛坐了一次过山车，从初中学过的最简单形式的胡克定律开始（此时弹性系数k为一实数），到向量形式的胡克定律（此时k为一2阶张量，含9个元素），最后到连续介质力学中张量形式的胡克定律（此时k为一4阶张量，含81个元素），然后由于对称性，元素个数不断减少，在各向同性材料里，k只有两个元素。从中可以看出，升阶其实就是将更多方向性考虑进去，这样就需要更多的元素表示不同的方向，而对称性又决定了我们可以用同一元素代表不同方向的性质。我们从“1”出发，最后回到了“2”。

参考文献

wikipedia_Hooke's law
Linear elasticity
Orthotropic material