我们会试着用绘画作品中的平面二维生物的视角，向大家解释所熟知的三维空间，假设这个世界中有很多二维世界的蜥蜴，而其中有只二维蜥蜴强行从纸上逃出，并在其它物体的顶端，凝视先前平面物体的存在，那它应该用什么方法，来向其它的二维蜥蜴来描述三维物体呢？
二维蜥蜴
a. 横切面法
我们让一些三维物体穿过这群平面生物的世界，例如，一个四面体正在穿过画满蜥蜴的平面，这些平面蜥蜴只能看见一个绿色的三角形突然出现，然后逐渐变小
因为它们的视觉存在局限，看不到平面以外的任何东西，如果让平面蜥蜴们通过这些出现在平面上的横切面，来猜测物体的形状，应该是极其困难的
三维物体的横切面
下面是不展示线框，只展示截面的情形，因为只能看到截面，很不直观，这些二维蜥蜴们，只有发展处优秀的几何直觉，才能很优秀的了解我们三维空间里的事物，而我们在了解四维空间时，也会遇见同样的困难
二十面体
b. 正交投影与透视投影法
正交投影或者透视投影，也是从三维到二维的一种常见的方法，大致上是相当于我们把三维物体画到二维画质上面的过程，但我们之所以能看出立体感，是因为我们见过三维物体，具有三维直觉，但二维平面中的蜥蜴，他们看到的是一堆框线来回挤压变化，确实，比起横截面法，可能会直观一些，但用这种方法，原来多面体的表面会在这样的投影中彼此重叠，对于全面了解多面体的形状并不算太直观
正交投影
c. 球极投影
首先让四面体膨胀起来，让它的顶点和棱处在一个球面中，需要注意的是，它的点与点，棱与棱，面与面之间的关系并没有变化，因为球极投影是“保形”的，只是原来的一些直线变成了弧线，平面变成了曲面
膨胀的四面体
我们给膨胀到球形的“正四面体”每个面涂上颜色，之后，用我们之前学过的球极投影把它投影到蜥蜴的平面，这样，就能方便二维的蜥蜴们观赏了
四面体的球面投影
同样的原理，我们把其他多面体的球极投影出现在平面上
立方体
八面体
十二面体
二十面体
那这些二维蜥蜴们要如何通过这些投影的形状来辨认多面体呢？其实我们可以看到，四面体拥有 4 个面，6 条棱和 4 个顶点，而拥有 6 个面，每个面有 4 条棱的就是立方体了，以此类推，就算生活在二维世界，通过这种方法，我们也就能分辨出十二面体和二十面体的差别了，而这种方法，比横切面法和正交与透视投影法都要更能整体直观感受到三维物体的表面，因为在这种情况下，这些表面不会重叠在一起
现在，我们要为四维空间做好准备
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