让我们开启思维的大门，尝试理解四维空间中的规则多面体，在这之前，需要遗忘我们所熟知的世界，并且想象一个我们视觉与感觉都不能直接进入的新世界，就像逃离二维平面的那只蜥蜴一样，在至高点上，把我所看到的试着描绘出来
但在开始之前，我们先在黑板上画出一条直线，并定好原点，这条直线上的每一点，都能用一个数字表示，记为横坐标 x，因此我们说直线是一维的，接着，我们画另一条轴线与第一条轴线垂直，黑板上的每一点都有两个数字来描述，通常记为 x 和 y，即横坐标和纵坐标，像这样的平面就是二维的，粉笔在空间中画出第三条轴线，与另外两条垂直，空间中的任意一点由三个数字表示：x, y 和 z，我们可以跟对于我们世界充满好奇的爬行动物们说，“空间中的一点，不过是三个数字而已”
三维空间
最后，我们试着想象下四维空间，画出第四条轴线与另外三条轴线垂直，我们可以说四维空间中的任意一点只能四个数字 x, y, z, t，但这通过画图是不可能的，所以我们需要尝试使用其他办法，方便我们理解四维空间
有一种方法，就是我们熟知的类推法，这里有一条直线和一个等边三角形，接着是一个规则四面体，我们可以看到直线，三角形和四面体分别有 2 个，3 个和 4 个顶点，因此我们可以试着画出 5 个顶点的图形，并把 5 个顶点两两相接，构成 10 条棱，在四面体中，每三个顶点间都有一个三角面，以此类推，我们可以得到 10 个三角面，而同时，每 4 个顶点之间都可以看成一个四面体，我们会发现这个图形中存在着 5 个四面体，而这个图形就是我们创造出的一个四维物体：4 维单形(4-simplex, 正五胞体)
4-simplex, 正五胞体
现在，我们需要发挥想象，让这个单形在四维空间中旋转起来，毕竟画在黑板上的只是它的投影，旋转时，单形的面将会变得混乱起来，并且相互交错，而这种交错，和从二维的世界里看三维物体旋转的投影时，那些棱也会交错是一样的
旋转的单形
假设，我们让四维空间中的单形，缓慢穿过三维空间，正如之前平面生物看到一个多边形一样，我们也可以看到一个三维多面体出现，然后改变形状，最后消失
穿过三维空间的单形
接下来穿过三维空间的四维物体是超立方体，它是线段，正方形和立方体的推广
穿过三维空间的超立方体
由 12 面体和 20 面体推广出的四维物体，我们这简单称它们为 120 号和 600 号，因为第一个 120 号含有 120 个 12 面体，第二个 600 号则含有 600 个 20 面体
穿过三维空间的120号
我们在这里说四维多面体有 600 个面时，是指三维的面
穿过三维空间的600号
但这种穿过三维空间的方法，很难让我们得到一个很好的几何直觉，所以我们通过阴影投射的方法，来帮助我们理解这些四维物体，下面是一个在四维空间里运动的超立方体，我们可以观赏到它的所有细节，例如，它有 16 个顶点
超立方体
接下来这个，在三维空间里并没有类似物，我们称它为 24 号，是纯粹的四维物体，它包含有 24 个顶点，96 条棱，96 个三角形和 24 个八面体
24号
这个是 120 号的投影，它有 600 个顶点，1200 条棱，有 4 条棱从每个顶点出发，一个完全规则的结构，所有顶点和棱都扮演着同样的角色
120号
而这些四维物体的冠军则是 600 号，它像一个庞大的宏观分子，有 720 条棱和 120 个顶点，有 12 条棱从每个顶点出发
600号
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