根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-14 08:28 被阅读0次

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使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项

解题步骤：

第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；

第二步分别求出其对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

【例】已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2-3x+2 > 0 (a \in R)$ .

（1）若不等式 $ax^2-3x+2>0$ 的解集为 $\{x|x<1$ 或 $x>b\}$ ，求 $a,b$ 的值．

（2）求不等式 $ax^2-3x+2>5-ax(x \in R)$ 的解集.

【解】（1）将 $x=1$ 代入 $ax^2-3x+2 =0$ ，则 $a=1$ ，

$\therefore$ 不等式为 $x^2-3x+2 >0$ 即 $(x-1)(x-2)>0$

$\therefore$ 不等式解集为 $\{x|x>2$ 或 $x<1\}$

$\therefore b=2$ .

(2)不等式为 $ax^2+(a-3)x-3>0$ ，即 $(ax-3)(x+1)>0$

当 $a=0$ 时，原不等式解集为 $\{x|x<-1\}$ ；

当 $a \neq 0$ 时，方程 $(ax-3)(x+1)=0$ 的根为 $x_1=\dfrac{3}{a}$ ， $x_2=-1$ ，

①当 $a>0$ 时， $\dfrac{3}{a}>-1$ ， $\therefore \{x |x > \dfrac{3}{a}$ 或 $x<-1\}$

②当 $-3 <a < 0$ 时， $\dfrac{3}{a}<-1$ ， $\therefore \{x | \dfrac{3}{a} <x <-1\}$

③当 $a=-3$ 时， $\dfrac{3}{a}=-1$ ， $\therefore \varnothing$

④当 $a<-3$ 时， $\dfrac{3}{a}>-1$ ， $\therefore \{x | -1<x<\dfrac{3}{a} \}$ ，

综上所述，原不等式解集为

①当 $a>0$ 时， $\{x |x > \dfrac{3}{a}$ 或 $x<-1\}$

②当 $-3 <a < 0$ 时， $\{x | \dfrac{3}{a} <x <-1\}$

③当 $a=-3$ 时， $\varnothing$

④当 $a<-3$ 时， $\{x | -1<x<\dfrac{3}{a} \}$ ，

⑤当 $a=0$ 时， $\{x|x<-1\}$ .

【总结】
（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知 $ax^2-3x+2 =0$ 的两根为 $x=1$ 或 $x=b$ ，且 $a>0$ ，根据根与系数的关系，即可求出 $a,b$ 的值．
（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为 $(ax-3)(x+1)>0$ ，然后通过对参数 $a$ 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．

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