根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-14 08:21 被阅读0次

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类型二根据判别式的符号分类

使用情景：一般一元二次不等式类型

解题步骤：

第一步首先求出不等式所对应方程的判别式；

第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

【例】设集合 $A=\{x|x^2＋3k^2 \geqslant 2k(2x－1)\}$ ， $B=\{x|x^2－(2x－1)k＋k^2 \geqslant 0\}$ ，且 $A \subseteq B$ ，试求 $k$ 的取值范围．

【解】 $A=\{x|[x-(3k-1)][x-(k+1)]\geqslant\}$ ，比较 $3k-1,k+1$ 的大小

因为 $(3k-1)-(k+1)=2(k-1)$

(1)当 $k＞1$ 时， $3k－1＞k＋1$ ， $A=\{x|x \geqslant 3k－1$ 或 $x \leqslant k+1 \}$ .

(2)当 $k=1$ 时， $x \in R$ .

(3)当 $k＜1$ 时， $3k－1＜k＋1$ ， $A=\{x|x \geqslant k+1$ 或 $x \leqslant 3k-1 \}$ .

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 $\Delta=4k^2-4(k^2+k)=-4k$ ，

(1)当 $k=1$ 时， $\Delta < 0$ ， $x \in R$

(2)当 $k＞1$ 时， $\Delta < 0$ ， $x \in R$

(3)当 $k＞1$ 时， $\Delta >0$ ， $x \leqslant k-\sqrt{-k}$ 或 $x \leqslant k+\sqrt{-k}$

故：当 $k\geqslant 0$ 时，由 $B=R$ ，显然有 $A \subseteq B$ ,

当 $k<0$ 时，为使 $A \subseteq B$ ，

需要 $\begin{cases}3k-1 \leqslant k-\sqrt{-k} \\ k+1 \geqslant k+\sqrt{-k}\end{cases}\Rightarrow k \geqslant -1$

于是 $k\geqslant-1$ 时， $A \subseteq B$ .

综上所述， $k$ 的取值范围是： $k \geqslant 0$ 或 $-1 \leqslant k <0$ .

【总结】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对 $\Delta$ 进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式 $\Delta$ 的符号分类.

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