9.反变函子

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2020-11-28 13:50 被阅读0次

A是一个小范畴,所以意味着A的任意两个对象间的态射可以构成集合。于是,根据之前的定理,A到集合范畴的函子,及这些函子间的自然变换可构成一个范畴。

定义映射:Y^*:\mathcal A \to Fun(\mathcal A,Set),

其内容为:Y^*(A)=\mathcal A(A,-),Y^*(f)=\mathcal A(f,-)

作用于对象得到可表函子,作用于射g得到可表函子间的自然映射。

这个映射具有这样的性质Y^*(g\circ f)=Y^*(f)\circ Y^*(g),Y^*(1_B)=1_{Y^*(B)}

于是Y*就是一个调转箭头方向的映射。并且在这种反向作用下保持了结合律和恒等映射,于是就是一个函子,称之为反变函子。

正式定义,相对于函子的定义,明显的变化就是对箭头的反向作用,这在箭头的像和复合律上得到了体现。

上面是函子的定义,可以比较一下。只是做了轻微的改动。

应该强调反变函子与函子的区别只在于箭头方向,在函子上成立的性质都可以变为反变函子的性质。下面是反变函子上的自然变换。

反变函子的自然变换

经过比较,发现,和函子间的自然变换相比,只要涉及了射f,箭头方向就要调转。其他不动。

函子的自然变换

其他的结果都可以这样变为反变函子的结果,这样做的合理性可以在对偶原理那一节找到解释。


函子和反变函子,仅仅改变箭头方向,能有多大的意义呢?拭目以待。

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