给定一个范畴，经常使用的构造新范畴的手段是范畴中的图。
a.固定范畴C中的一个对象I，对于I上的箭头可以定义新范畴C/I：
对象是以对象I为值域的所有箭头，也就是所有指向I的箭头。这里其实有些不清楚的地方，一个对象就是一个态射，由A到I之间有许多个态射，也就是有许多个对象。
态射是满足上面的交换图的箭头，其中f，g是对象，h是f，g之间的态射，即满足的态射h。
复合运算就是基础范畴C中的复合。
值得注意的是，当限制范畴C为集合范畴时，范畴C/I的对象就可以等同为集合I索引的集族，因为首先f是一个映射，满足单值性，所以I的逆象必定包含集合A，有的i对应一个a，有的对于多个，有的没有对应，所以总结为，每个I中的元素对应于A元素所成的空集，单点集，多点集，整体上就是I索引了一个集族。
于是范畴C/I就是I索引的集合族以及映射族。
感觉有点难理解啊，尤其是映射的映射。映射族大概是集族到集族的映射吧。
b.对应的有范畴I/C，对象为所有由I发出的箭头，其他的类比可得。就是把上一个例子的箭头方向反过来了。
箭头范畴Ar（C），以C中所有箭头为对象，以箭头序对作为态射，并满足上面的交换图，复合运算是按照分量定义的，就像向量一样，互不干扰。
当基础范畴C是小范畴时，上面构造的三个范畴都是小范畴。
下面是函子的一些例子：
a.遗忘函子，将复杂的结构消解掉，变为简单的结构，这个很容易理解，因为复杂的结构可以视为简单结构的特例，往往要满足一些更加苛刻的条件，将这些限制条件去掉就行了。比如，群是满足群公理的集合，遗忘函子就将群公理遗忘掉，只剩下集合的结构。
b.如果R是交换环，记为R模和R线性映射所成范畴，与R作张量积就产生了一个函子，
，从交换群范畴到R模范畴。
这个其实就是向量空间的构造方法，向量空间是特殊的R模。
交换群被映射为新的群，并且具有新运算标量乘法。群同态被映射为R线性映射。
c.幂集函子，由集合范畴到集合范畴，将集合映射为其幂集，将集合间的映射映射为幂集间的映射。这是怎么映射的呢？？
d.可表函子，函子由对象C所表达。将对象映射为态射集合，将态射映射为态射。
e.给出两个范畴A，B和B中一个对象B，定义对象Ｂ的常值函子，任意Ａ中的对象，映射到对象Ｂ，任意Ａ中的态射，映射到B的恒等态射。这就像常值函数一样，只对应一个特定的点。仅仅是因为函子要求两个对应，所以多出来一个映射对应。
这一节总算是看完了，这一次的例子更多的是一种数学构造，所以显得极为抽象，看不懂也是必然，虽然之前补过一些基础，但是还是很难理解。只能抽象的去把握，学习急不得，尤其是陌生的东西，必须要花费大量的时间来熟悉，熟悉之后才谈的上去理解。
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