7.自然变换

在基础拓扑学的学习了，拓扑空间和连续映射。但是给定两个连续映射，在这两个映射间还存在同伦，允许从一个函数变化到另一个函数。对于范畴和函子，也存在类似的场景。也就是函子到函子的变换。

考虑范畴A，B之间的两个函子F，G，一个从函子F到G的自然变换是一个由A中对象索引的B中的态射的类。并且满足上面的交换图。

看起来，就是对象A在范畴B中的两个像ＦＡ，ＧＡ之间的映射，并且箭头的两个像也是对应的。

对于自然变换，很明显具有复合运算，和恒等态射。于是，又有人粗心的认为函子和自然映射可以构成一个新的范畴。于是要强调一下，范畴定义中要求任意两个对象间的态射构成一个集合，而任意两个范畴之间的函子往往是一个类，所以函子间的自然变换就也是一个类。所以一般是不成立的。

当Ａ是一个小范畴，Ｂ是任意范畴，那么Ａ，Ｂ间的函子和函子间的自然变换构成一个范畴，当Ｂ是小范畴时，这个新范畴也是小范畴。

下面是第一个重要的定理

米田引理：

考虑由任意范畴Ａ指向集合范畴的函子Ｆ，范畴A中的一个对象，以及对象A对应的可表函子。于是存在一个双射，由A的可表函子到函子F的自然变换，对应到函子F所确定的集合FA的元素。

这个双射就构成了关于变量A的自然映射，当A是小范畴时，这个双射也构成了关于变量F的自然变换。

证明有点长，等会看看。

在前面我们采用了自然变换第一种复合律，实际上还有另一种复合律。

这种自然变换的复合将复合函子变换到复合函子，是一种并列的方式。姑且称为Ｇ积。

两种复合的交错情形。

出于节省篇幅使用，

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就到这里了，证明还要在看一下。篇幅多，内容不多。