[摘要]四元数

《3D游戏编程大师技巧》 上册 4.10章节

1.四元数的思想来源于复数

复数：当只有一个虚部i的时候，复数的几何表示可以表示为二维复平面。
四元数：从一个虚部i 扩展到 三个虚部 i,j,k。四元数为一个实部+3个虚部：P=p0+p1*i+p2*j+p3*k。其中q0为实部。
其中，<i,j,k>可以看做一个三维空间，i,j,k分别为三个方向上的基向量，并且，i*j=j*k=k*j=-1。
那么四元数可以用向量方式表示：<p0,p1,p2,p3>。

1.5 用四元数表示旋转轴和旋转角度

情况1.给定一个旋转轴Vq(单位向量),和绕此轴的旋转角度θ，得到四元数：
    Q=cos(θ/2)+sin(θ/2)*Vq
情况2.给定了旋转的标准欧拉角(xθ,yθ,zθ),xθ为x轴的倾角，yθ为y轴的偏航角，zθ为z轴的倾斜角，要得到用Q来表示旋转轴和旋转角的四元数。
    根据Q(final)=xyz三个轴的四元数的乘积（顺序不限）
                =Q(xθ)*Q(yθ)*Q(zθ)    (顺序不限)
                =Q(zθ)*Q(yθ)*Q(xθ)    (3D引擎中常用顺序)
    首先分别计算出Q(xθ)、Q(yθ)、Q(zθ)：
      根据Q=cos(θ/2)+sin(θ/2)*Vq知道，知道了旋转轴和角度可以获得四元数，得到：
          Q(xθ)=cos(xθ/2)+sin(xθ/2)*(1·i+0·j+0·k)   (基向量为<1,0,0>)
          Q(yθ)=cos(yθ/2)+sin(yθ/2)*(0·i+1·j+0·k)   (基向量为<0,1,0>)
          Q(zθ)=cos(zθ/2)+sin(zθ/2)*(0·i+0·j+1·k)   (基向量为<0,0,1>)

2.四元数旋转

向量V,绕Vq轴旋转θ度，用单位四元数Q=cos(θ/2)+sin(θ/2)*Vq表示旋转轴和旋转向量，Q*为Q的共轭复数，则向量V旋转结果V'为如下:
 右手坐标系：
    1.顺时针旋转：
      V'=Q*·V·Q
    2.逆时针旋转：
      V'=Q·V·Q*
 左手坐标系：
    1.顺时针旋转：
       V'=Q·V·Q*
    2.逆时针旋转：
       V'=Q*·V·Q
  得到的V'的v'0=0,因此，可以去掉v'0,用v=<v'1,v'2,v'3>来代表旋转后得到的向量
  注意，只有当Q为单位四元数的时候，Q﹣¹=Q*

3.复数相关的知识