在实际情况中,对于一个空间,我们通常只能获取到这个空间的随意一组基,这样的一组基内的向量大概率不是正交关系的,我们得到的空间的基与矩阵的形状密切相关。但是,对于给定的一个空间的一组基,我们可以进一步的找到这个空间的一组正交基,一个空间的标准正交基方便计算 。
获取空间的一组标准正交基的步骤
- 首先,获取空间的一组基
- 继而求取空间的正交基
- 最后获取空间的标准正交基
,
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从上面整个步骤可以看出,求取一个空间的标准正交基,关键是求取空间的正交基。
求取一个二维平面的一组正交基
在一个二维空间,给出空间的任意一组基,首先这两个向量一定不共线,那么在二维平面这两向量可以表示成
![](https://img.haomeiwen.com/i22068419/ca8e6c055b42d485.png)
然后通过这组向量来求取二维平面的正交基,只需让这组向量的其中一个向量保持不变,令另一个向量与保持不变的这向量垂直,这样就得到了二维平面的一组正交基。这里假设让这个二维平面的基中的向量保持不变。
接下来需要找到一个与向量垂直的向量:具体操作为
① 从向量向
作投影,即向量
所在的线段的末端向向量
所在的线代作垂线,那以垂足的位置作为另外一个向量
的末端,那么这个向量
就是向量
在向量
的投影。
![](https://img.haomeiwen.com/i22068419/e6b657fa0e220741.png)
②通过向量,进一步就可以通过向量减法,求出与向量
垂直的那个向量
,按照向量的平行四边形法则,向量
加上
向量得到
向量,所以
:
![](https://img.haomeiwen.com/i22068419/58dae478be530d54.png)
至此,就在在一个二维空间找到的两个向量和向量
,它们就是这个二维空间的一组正交基。在这个过程中,核心就是求出向量
在
的投影向量
。
求出投影向量
对于向量的点乘
根据三角函数的知识,就有向量的的模
由于向量与向量
共线,所以向量
的方向等于向量
的方向,向量
的方向就是它的标准单位方向向量,即
最后,由向量的标准单位方向向量和向量
的模相乘就可以完整表示向量
又
,注意不能约分,向量点乘与标量数乘是不一样的。
通过向量,进而就可以计算出与向量
正交的向量
这样,就通过二维空间中任意的一组基 和
获得了空间中的一组正交基
和
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