第17课正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-10-30 14:00 被阅读0次

正交空间：行空间和零空间

正交基和正交矩阵“标准正交”，标准表示长度是单位长度

标准正交基怎样让情况变好？

它让整个计算方便了很多，
许多数值线性代数都建立在标准正交向量的基础上
容易操控，从不上溢或下溢

正交矩阵一般用 $Q$ 表示：
$Q=\begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots \\ q_1&q_2&q_3 \\\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}$

$Q^TQ = \underbrace{ \begin{bmatrix}\dots&q_1^T&\dots\\\dots&q_2^T&\dots\\\dots&q_3^T&\dots\end{bmatrix} }_{Q^T} \underbrace{ \begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots\\ q_1&q_2&q_3\\\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix} }_{Q}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}_{I}$
性质：

$q_i^Tq_j=0$
如果 $Q$ 是方阵， $Q^TQ=I \rightarrow Q^T = Q^{-1}$

标准正交且为方阵才叫正交矩阵

例：
$\underbrace{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}_{Q} \underbrace{\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}_{Q^T}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}_{I} \\ \underbrace{\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}}_{Q} \underbrace{\begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}}_{Q^T}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}_{I}$

令 $Q$ 表示标准正交列向量的矩阵，假设投影到列空间中，其投影矩阵是什么？
$P=Q(\underbrace{Q^TQ}_{I})^{-1}Q^T= (Q\underbrace{Q^T)(Q}_{I}Q^T) = QQ^T \\ (Q^TQ)^{-1} = Q^TQ\\ Q是方阵\rightarrow QQ^T=I$
标准公式：
$A^TA\hat{x}=A^Tb\\ A用Q来代替 \rightarrow Q^TQ\hat{x}=Q^Tb \rightarrow I\hat{x}=Q^Tb \\ \rightarrow \underbrace{\hat{x}_i = q_i^Tb}_{*重要方程*}$

格拉姆-施密特正交化法，使列向量标准正交，缺点在于，这些列向量都必须是单位向量。

例： $\vec a,\vec b$ 线性无关，得到 $\underbrace{q_1,q_2}_{标准正交化向量}$

将 $\vec a$ 与 $\vec b$ ,标准正交化成 $q_1,q_2$ ，先求正交 $A$ 和 $B$ ，再到标准正交化 $q_1,q_2$ ，(除以自身长度)

施密特： $q_1=\frac{A}{\|A\|},q_2=\frac{B}{\|B\|},q_3=\frac{C}{\|C\|}$

格拉姆：
$A=a \\ B=b-\underbrace{\frac{A^Tb}{A^TA}A}_{A上的分量} \\ \rightarrow A^TB=A^T(b-\frac{A^Tb}{A^TA}A)=A^Tb-\frac{A^Tb}{A^TA}A^TA = A^Tb-A^Tb \\ C= c- \underbrace{\frac{A^Tc}{A^TA}A}_{A上的分量}- \underbrace{\frac{B^Tc}{B^TB}B}_{B上的分量}$

例：已知两个向量，求格拉姆--施密特标准正交基的矩阵表示
$a=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}; b=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}; B=\underbrace{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}_{b} - \frac{3}{3}\underbrace{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}_{A} = \begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\\ A_N=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\1&2\end{bmatrix}; Q=\begin{bmatrix}q_1&q_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt3} & 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}; A_M=\begin{bmatrix}1&0\\1&-1\\1&1\end{bmatrix}$
$A_N$ 是原空间很不错的基组，还不够好，不正交

$A_M$ 是正交基组，还不够好，不标准

Q是标准正交基，投影和所有想做的计算都会变得很简单
$A=LU;A=QR\\ \underbrace{\begin{bmatrix}\vdots&\vdots\\a&b\\\vdots&\vdots\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}\vdots&vdots\\q_1&q_2\\\vdots&\vdots\end{bmatrix}}_{Q} \underbrace{\begin{bmatrix}a_1^Tq_1&b_1^Tq_1\\a_1^Tq_2&b_2^Tq_2\end{bmatrix}}_{R}\\ R是一个上三角阵\\ a_1^Tq_2=0$

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