Chapter1——极限与连续

1. 数列极限

1.1 定义

设为一数列，为常数，如果对于任意给定的正数，存在正整数，使得当时，恒有

成立，则称数列以为极限。

为了表达方便，我们可以用以下形式化语言表述：

1.2 性质

• 收敛数列极限唯一
• 如果数列收敛，那么数列一定有界

2. 函数极限

2.1 自变量趋向于无穷大定义

2.2 自变量趋向于有限值函数极限定义

设函数在的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值满足，那么常数A称为函数当的极限。

2.3 右极限定义

2.4 左极限定义

2.5 函数极限与数列极限关系（海涅定理）

对于，只要，则。

3. 无穷小量和无穷大量

• 无穷小量：在某一极限过程中，其极限值为0
• 无穷大量：在某极限过程中，其极限趋向于无穷

3.1 性质

• 有界函数与无穷小量的乘积为无穷小。（重要）
• 有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小。
• 无穷小量和无穷大量均是一个变量。
• 若函数在时是无穷大，那么必然存在一个的去心邻域，在此邻域中一定无界。

3.2 等价无穷小和无穷小的替换法则

(1). 。
(2). >
(3).

4. 极限的两个重要准则

4.1 夹逼准则

设数列满足以下两个条件：
(1). 。
(2).
则

4.2 单调有界收敛准则

如果数列或函数有界，并且是单调的，那么他一定收敛。

4.3 两个重要的极限

• 
• 

5. 函数的连续性和间断点（重要）

5.1 函数在一点的连续性定义

设函数在的某邻域内有定义，如果

则称在连续。

• 左连续定义：
• 右连续定义：

5.2 函数在某区间上连续的定义

若函数在开区间内处处连续，那么称函数在内连续；若函数在连续，且在左端点右连续，右端点左连续，则它在闭区间连续。

5.3 定理：初等函数在其定域内中处处连续

5.4 间断点

若在某去心邻域有定义，且在不连续，则为间断点。间断点存在于下列三种情况之一：
(1). 在无定义。
(2). 在有定义，但极限不存在。
(3). 在，极限存在，但。

间断点的分类：

• 第一类间断点：的左右极限存在。若左右极限相等，则是可取间断点。否则为跳跃间断点。

• 第二类间断点：凡不是第一类间断点都是第二类

6. 闭区间连续函数的介值定理

设函数在闭区间连续，有，且，那么对于任意一个，在一定存在一点，使得