证明如果级数和x在集合C中收敛，则x必定属于C

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-08 07:34 被阅读0次

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假设 $C \subset \mathbb{R}^n$ 是凸集。设 $x_i \in C$ 且 $\theta_i \geq 0,\sum_{i=1}^\infty{\theta_i}=1$ 。证明如果 $x = \sum_{i=1}^\infty{\theta_ix_i}$ 收敛，那么 $x\in C$ 。

证：

1.对扩展到无穷和的合理性说明：

凸集对于有限个点的定义表明，对于任意两个点 $x,y∈C$ 以及任意实数α满足 $0≤α≤1$ ，有 $α x+(1−α)y∈C$ 。对于有限个点 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}∈C$ 以及非负的 $θ_{1},θ_{2},\cdots,θ_{k}$ 且 $\sum_{i=1}^{k} θ_{i}=1$ ，

那么 $\sum_{i=1}^{k} θ_{i}x_{i} \in C$ 。现在考虑无穷和的情况。由于 $\sum_{i=1}^∞ θ_{i}x_{i}$ 收敛，对于任意给定的 $ε>0$ ，存在一个整数N，使得对于所有的 $m，n>N$ ，有 $\left \| \sum_{i=1}^ mθ_{i}x_{i}-\sum_{i=1}^ nθ_{i}x_{i}\right \| <ε$ 。这表明部分和序列是一个柯西序列。在 $\mathbb{R}^m$ 中，柯西序列收敛。设 $s_{n}=\sum_{i=1}^ nθ_{i} x_{i}$ 。因为每个 $s_{n}$ 都是 $C$ 中各点的凸组合，所以对于所有的n， $s_{n}$ 都属于C。我们可以认为极限 $x=\lim_{n \to \infty} s_{n}$ 可以被C中的元素任意逼近。

对凸集的闭性的澄清：

在像 $\mathbb{R}^{n}$ 这样的有限维空间中，如果一个凸集包含它的所有极限点，那么它就是闭集。这是因为在有限维赋范空间中，一个集合是闭集当且仅当它是完备的。由于 $\mathbb{R}^{n}$ 是完备的，并且凸集 $C \subset \mathbb{R}^{n}$ 是由一组线性不等式定义的，所以可以证明C是闭半空间的交集，因此是闭集。

更严格地处理收敛性：

因为我们已经证明了部分和序列 ${s_{n}}$ 收敛到 $x$ ，并且每个 $s_{n} \in C$ 。现在，由于 $C$ 是闭集，它包含它的所有极限点。因此， $x$ 作为序列 ${s_{n}}$ 的极限，必然属于 $C$ 。

结论:

综上，可以得出结论，如果 $x=\sum_{i=1}^{\infty}\limits \theta_ix_i$ 在集合 $C$ 中收敛，那么 $x$ 一定属于 $C$ 。

解题思路：

设定与前提：

假设集合 $C$ 是实数集 $\mathbb{R}^n$ 的一个凸集。

给定任意 $x_i$ 属于C，且存在 $θ_i≥0$ ，满足 $∑θ_i = 1$ 。

考虑凸集的性质：

凸集C的定义是：对于 $C$ 中的任意两点x和y，以及任意实数 $α$ （ $0≤α≤1$ ），都有 $αx+(1-α)y$ 也属于 $C$ 。

由此，我们可以推断出，对于C中的任意有限个点 $x_i$ 和满足 $∑θ_i = 1$ 的非负实数 $θ_i$ ，点 $x = ∑θ_i * x_i$ 也必然属于 $C$ 。

收敛性的分析：

假设序列 $\{x_n\}$ = $\{∑θ_i * x_i^{n}\}$ （其中 $x_i^{n}$ 是C中的点，且 $θ_i$ 满足上述条件）收敛于 $x$ 。

由于每个 $x_i^n$ 都属于 $C$ ，且 $C$ 是凸集，因此每个 $x_n$ 也都属于 $C$ 。

利用凸集的闭包性质：

凸集 $C$ 不仅是凸的，还是闭的（在有限维空间中，凸集总是闭的）。

这意味着，如果序列 $\{x_n\}$ 在 $C$ 中收敛，那么其极限点 $x$ 也必然属于 $C$ 。

得出结论：

综合以上分析，我们可以得出结论：如果 $x = ∑θ_i * x_i$ 在集合 $C$ 中收敛，那么 $x$ 必然属于 $C$ 。

分析：

这个证明的关键在于理解凸集的性质，特别是凸集的闭包性质。由于凸集在有限维空间中总是闭的，因此我们可以利用这一性质来推断收敛序列的极限点也属于凸集。此外，凸集的定义也为我们提供了判断点是否属于凸集的有效方法。

英文原始内容：

Suppose $C \subset \mathbb{R}^n$ is convex. Let $x_i \in C$ and $\theta_i \geq 0, \sum_{i=1}^\infty \theta_i = 1$ . Show that if $x = \sum_{i=1}^\infty \theta_ix_i$ converges, then $x \in C$ .

Proof:

Let $C \subset \mathbb{R}^n$ be a convex set. Let $x_i \in C$ and $\theta_i\geq0$ , such that $\sum_{i=1}^\infty \theta_i = 1$ .

Justification for extending to infinite sums:

The definition of convexity for a finite number of points states that for any two points $x, y \in C$ and any real number $\alpha$ with $0\leq\alpha\leq1$ , we have $\alpha x + (1-\alpha)y \in C$ . For a finite set of points $x_1,x_2,\ldots,x_k \in C$ and non-negative $\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_k$ with $\sum_{i=1}^k \theta_i = 1$ , it follows that $\sum_{i=1}^k \theta_ix_i \in C$ . Now, consider the infinite sum case. As the sum $\sum_{i=1}^{\infty} \theta_i x_i$ converges, for any given $\varepsilon > 0$ , there exists an integer $N$ such that for all $m, n>N, \left\|\sum_{i=1}^{n} \theta_i x_i-\sum_{i=1}^{m} \theta_i x_i\right\|<\varepsilon$ . This shows that the sequence of partial sums is a Cauchy sequence. In $\mathbb{R}^n$ , Cauchy sequences converge. Let $s_n=\sum_{i=1}^{n} \theta_i x_i$ . Since each $s_n$ is a convex combination of points in $C$ and hence belongs to $C$ for all n, we can think of the limit $x=\lim_{n \to \infty} s_n$ as being approximated arbitrarily closely by elements in $C$ .

Clarification on closure of convex sets:

In finite-dimensional spaces like $\mathbb{R}^n$ , a convex set is closed if it contains all its limit points. This follows from the fact that in a finite-dimensional normed space, a set is closed if and only if it is complete. Since $\mathbb{R}^n$ is complete and a convex set $C \subset \mathbb{R}^n$ is defined by a collection of linear inequalities, it can be shown that C is an intersection of closed half-spaces, and hence is closed.

Handling convergence more rigorously:As we have shown that the sequence of partial sums ${s_n}$ converges to x, and each $s_n\in C$ . Now, since C is closed, it contains all its limit points. Therefore, x, being the limit of the sequence $\left\{s_n\right\}$ , must belong to C.

Conclusion:In summary, we can conclude that if x= $\sum_{i=1}^{\infty}a_ix_i$ converges in the set C, then x must belong to C.

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