同构

定义：对实数域R上欧式空间V与,若由V到有一个双射,满足：

1.

2.

3.

其中,则称为V到V'的同构映射

注：

1.同构的欧式空间必有相同的维数

若是欧式空间V到V'的一个同构映射

则也是V到V'作为线性空间的同构映射

2.每个n维欧式空间都与同构

设V是一个n维欧式空间,在V中取一组标准正交基,在这组基下,V的每个向量都可表成

令,是V到的一个双射,是V到的一个同构映射

3.同构作为欧式空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性

首先,每个欧式空间到自身的恒等映射显然是一同构映射

即同构关系是反身的

其次,设是V到V'的一同构映射,对逆映射

,有

即是V'到V的一同构映射,故同构关系是对称的

设分别是V到V',V'到V''的同构映射

易证,是V到V''的同构映射,故同构关系是传递的

注：任两个n维欧式空间都同构

定理：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同

注：定理说明,欧式空间的结构完全被它的维数决定