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高等代数理论基础63：同构

高等代数理论基础63：同构

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-13 06:03 被阅读3次

同构

定义：对实数域R上欧式空间V与V',若由V到V'有一个双射\sigma,满足：

1.\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)

2.\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)

3.(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)

其中\alpha,\beta\in V,k\in R,则称\sigma为V到V'的同构映射

注：

1.同构的欧式空间必有相同的维数

若\sigma是欧式空间V到V'的一个同构映射

则\sigma也是V到V'作为线性空间的同构映射

2.每个n维欧式空间都与R^n同构

设V是一个n维欧式空间,在V中取一组标准正交基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n,在这组基下,V的每个向量\alpha都可表成

\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n

令\sigma(\alpha)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in R^n,是V到R^n的一个双射,\sigma是V到R^n的一个同构映射

3.同构作为欧式空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性

首先,每个欧式空间到自身的恒等映射显然是一同构映射

即同构关系是反身的

其次,设\sigma是V到V'的一同构映射,对逆映射\sigma^{-1}

\forall \alpha,\beta\in V',有(\alpha,\beta)=(\sigma(\sigma^{-1}(\alpha)),\sigma(\sigma^{-1}(\beta)))

=(\sigma^{-1}(\alpha),\sigma^{-1}(\beta))

即\sigma^{-1}是V'到V的一同构映射,故同构关系是对称的

设\sigma,\tau分别是V到V',V'到V''的同构映射

易证,\tau\sigma是V到V''的同构映射,故同构关系是传递的

注：任两个n维欧式空间都同构

定理：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同

注：定理说明,欧式空间的结构完全被它的维数决定

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