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高等代数理论基础15：n级行列式的性质

高等代数理论基础15：n级行列式的性质

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-27 07:34 被阅读56次

n级行列式的性质

性质1：行列互换,行列式不变,即

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

a_{ij}在右端位于第j行,第i列,即i为列指标,j为行指标

所以右端展开等于\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

正是左端的展开式

定义：上式右端行列式称为左端行列式的转置行列式

注：

1.行列式转置,值不变

2.行列式中行与列的地位是对称的,凡是有关行的性质,对列也同样成立

例：

由\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

性质2：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

证明：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=ka_{i1}A_{i1}+ka_{i2}A_{i2}+\cdots+ka_{in}A_{in}

=k(a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in})

=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\qquad \mathcal{Q.E.D}

令k=0可得,若行列式中一行为零,则行列式为零

性质3：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_1+c_1&b_2+c_2&\cdots&b_n+c_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_1&b_2&\cdots&b_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_1&c_2&\cdots&c_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

证明：

设第i行为两组数的和,则

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_1+c_1&b_2+c_2&\cdots&b_n+c_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=(b_1+c_1)A_{i1}+(b_2+c_2)A_{i2}+\cdots+(b_n+c_n)A_{in}

=(b_1A_{i1}+b_2A_{i2}+\cdots+b_nA_{in})+(c_1A_{i1}+c_2A_{i2}+\cdots+c_nA_{in})

=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_1&b_2&\cdots&b_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_1&c_2&\cdots&c_n\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\qquad \mathcal{Q.E.D}

性质4：若行列式中有两行相同,则行列式为零

证明：

设行列式

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=\sum\limits_{j_1\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1\cdots j_i\cdots j_k\cdots j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{ij_i}\cdots a_{kj_k}\cdots a_{nj_n}

其中第i行与第k行相同

即a_{ij}=a_{kj},j=1,2,\cdots,n

要证行列式为零

只需证右端所出现的项两两想消

与(-1)^{\tau(j_1\cdots j_i\cdots j_k\cdots j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{ij_i}\cdots a_{kj_k}\cdots a_{nj_n}

同时出现的还有

(-1)^{\tau(j_1\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{ij_k}\cdots a_{kj_i}\cdots a_{nj_n}

比较两项可得

a_{ij_i}=a_{kj_i},a_{ij_k}=a_{kj_k}

即两项数值相同

排列j_1\cdots j_i\cdots j_k\cdots j_n

与j_1\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n

差一个对换

\therefore 有相反的奇偶性

\therefore 两项符号相反

显然,全部n级排列可按上述形式配对

\therefore 右端对于每一项都有一个数值相同符号相反的项成对出现

\therefore 行列式为零\qquad\mathcal{Q.E.D}

性质5：若行列式中两行成比例,则行列式为零

证明：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=0\qquad\mathcal{Q.E.D}

性质6：把一行的倍数加到另一行,行列式不变

证明：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+ca_{k1}&a_{i2}+ca_{k2}&\cdots&a_{in}+ca_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ca_{k1}&ca_{k2}&\cdots&ca_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&ca_{i2}&\cdots&ca_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\qquad\mathcal{Q.E.D}

性质7：对换行列式中两行的位置,行列式反号

证明：

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+a_{k1}&a_{i2}+a_{k2}&\cdots&a_{in}+a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+a_{k1}&a_{i2}+a_{k2}&\cdots&a_{in}+a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{i1}&-a_{i2}&\cdots&-a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{i1}&-a_{i2}&\cdots&-a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

=-\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\qquad\mathcal{Q.E.D}

例：d=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}

解：

d=\begin{vmatrix}a+(n-1)b&b&b&\cdots&b\\ a+(n-1)b&a&b&\cdots&b\\ a+(n-1)b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a+(n-1)b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}

=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\ 1&a&b&\cdots&b\\ 1&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}

=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\ 0&a-b&b&\cdots&b\\ 0&0&a-b&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}

=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}

反称行列式

定义：给定n级行列式,满足a_{ij}=-a_{ji},i,j=1,2,\cdots,n,则称为反称行列式

例：证明奇数反称行列式等于0

证：

\because a_{ij}=-a_{ji},i,j=1,2,\cdots,n

\therefore a_{ii}=-a_{ii},i=1,2,\cdots,n

\therefore a_{ii}=0,i=1,2,\cdots,n

即d=\begin{vmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ -a_{12}&0&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ -a_{13}&-a_{23}&0&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\cdots&0\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}0&-a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ a_{12}&0&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ a_{13}&a_{23}&0&\cdots&-a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\cdots&0\end{vmatrix}

=(-1)^n\begin{vmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ -a_{12}&0&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ -a_{13}&-a_{23}&0&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\cdots&0\end{vmatrix}

=(-1)^nd

当n为奇数时d=-d

\therefore d=0

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