线代（四）：向量组的线性相关性

作者: 逸无无争 | 来源:发表于2020-07-27 20:19 被阅读0次

2019-04-22
方程组与向量组
高等代数理论基础22：线性相关性
线代（四）：向量组的线性相关性
线性代数笔记09
第二讲：线性表示及基与坐标
MIT-18.06-线性代数（第九讲）
线性代数(三)向量组
第三章向量空间
矩阵分析（二）极大线性无关组

向量组及其线性组合

n个有次序的数 $a_{1},a_{2},…a_{n}$ 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的n个分量，第i个数 $a_{i}$ 称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。

向量分为列向量 $a=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ 和行向量 $a^{T}$ = $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,如一个 $m×n$ 矩阵的全体列向量是一个含 $n$ 个 $m$ 维列向量的向量组，它的全体行向量是一个含 $m$ 个 $n$ 维行向量的向量组。

给定向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ ，对于任何一组实数 $k_{1},k_{2},… ,k_{m}$ ，表达式 $k_{1} a_{1} +k_{2} a_{2} +… +k_{m} a_{m}$ 称为向量组 $A$ 的一个线性组合， $k_{1},k_{2} ,… ,k_{m}$ 称为这个线性组合的系数。
如果向量 $b$ 等于向量组 $A$ 的一个线性组合，这时称向量 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

向量 $b$ 能由向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_{1},a_{2}, … ,a_{m})$ 的秩等于矩阵 $B=(a_{1},a_{2}, … ,a_{m},b)$ 的秩，即： $R(A)=R(A,b)$

设有两个向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 及 $B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}$ ，若 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示.。若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组 $B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}$ 能由向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A =(a_{1},a_{2}，… ,a_{m})$ 的秩等于矩阵 $(A,B)= (a_{1}，…，a_{m}，b_{1}，…，b_{l})$ 的秩，即 $R(A)= R(A,B)$ $\Rightarrow$ 向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 与向量组 $B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}$ 等价的充分必要条件是 $R(A)= R(B)=R(A,B)$

向量组的线性相关性

给定向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 如果存在不全为零的数 $k_{1},k_{2},… .k_{m}$ ,使 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{1}+...+k_{m}a_{m}=0$ ,则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。

向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $A =(a_{1},a_{2}，… ,a_{m})$ 的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件是 $R(A)= m$

若向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 线性相关，则向量组 $B:a_{1},a_{2}, … ,a_{m},a_{m+1}$ 也线性相关。反之，若向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关。
$m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维数 $n$ 小于向量个数 $m$ 时一定线性相关.特别地 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关.
设向量组 $A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}$ 线性无关，而向量组 $B:a_{1},a_{2}, … ,a_{m},b$ 线性相关，则向量 $b$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表示式是惟一的。

向量组的秩

设有向量组 $A$ ，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量: $a_{1},a_{2},…,a_{r}$ ,满足(i): 向量组 $A_{0}:a_{1},a_{2},…,a_{r}$ 线性无关;（ii）向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量的话）都线性相关，那么称向量组 $A_{0}$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关向量组(简称量大无关组),最大无关组所含向量个数 $r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 。
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
向量组 $b_{1},b_{2},… ,b_{l}$ 能由向量组 $_{1},a_{2},…a_{m}$ 线性表示的充分必要条件是 $R(a_{1},a_{2},…,a_{m})= R(a_{1},…,a_{m},b_{1},… , b_{l})$ .
若向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示，则 $R(B) ≤R(A)$

线性方程组的解的结构

若 $x=ξ _{1}, x =ξ_{2}$ 为向量方程（2）的解，则 $x=ξ_{1} +ξ_{2}$ 也是向量方程（2）的解.
若 $x=ξ_{1}$ 为向量方程（2）的解， $k$ 为实数，则 $x=kξ_{1}$ 也是向量方程（2）的解.

设 $m×n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$ ，则 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解集 $S$ 的秩 $R(S) =n-r$ .

设 $x=η_{1}$ 及 $x= η_{2}$ 都是向量方程（5）的解，则 $x=η_{1}-η_{2}$ 为对应的齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解
设 $x=η$ 是方程（5）的解, $x=ξ$ 是方程 $Ax=0$ 的解，则 $x=ξ+η$ 仍是方程（5）的解.

向量空间

$V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为向量空间

设有向量空间 $V_{1}$ 及 $V_{2}$ ，若 $V_{1}\subseteq V_{2}$ ，就称 $V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的子空间。
设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}∈V$ ，且满足(1) $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}$ 线性无关；(2)V中任一向量都可由 $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}$ 线性表示。那么，向量组 $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}$ 就称为向量空间 $V$ 的一个基， $r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间.

如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}$ ,那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可惟一地表示为: $x =λ_{1} a_{1} +λ_{2} a_{2} + … +λ_{r} a_{r}$ ，数组 $λ_{1}，λ_{2}， …，λ_{r}$ 称为向量 $x$ 在基 $a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}$ 中的坐标