高等代数理论基础22：线性相关性

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-03 06:47 被阅读51次

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线性相关性

线性组合

定义：若 $\exists k_1,k_2,\cdots,k_s\in P$ ,使 $\alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_s\beta_s$ 则称向量 $\alpha$ 为向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 的一个线性组合

也称 $\alpha$ 可经向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出

n维单位向量

任一n维向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 都是向量组 $\begin{cases}\varepsilon_1=(1,0,\cdots,0)\\ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0)\\ \cdots\\ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1)\end{cases}$ 的一个线性组合

向量 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 称为n维单位向量

注：零向量是任一向量组的线性组合

向量组线性表出

定义：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 中每个向量 $\alpha_i(i=1,2,\cdots,t)$ 都可经向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出,则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 可经向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出,若两个向量组互相可线性表出,则称它们等价

注：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 可经向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出,向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 可经向量组 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p$ 线性表出,则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 可经向量组 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p$ 线性表出

证明：

$若\alpha_i=\sum\limits_{j=1}^sk_{ij}\beta_j\qquad i=1,2,\cdots,t$

$\beta_j=\sum\limits_{m=1}^pl_{jm}\gamma_m\qquad j=1,2,\cdots,s$

$则\alpha_{i}=\sum\limits_{j=1}^sk_{ij}\sum\limits_{m=1}^pl_{jm}\gamma_m$

$=\sum\limits_{m=1}^p(\sum\limits_{j=1}^sk_{ij}l_{jm})\gamma_m\qquad i=1,2,\cdots,t$

$即向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t中每个向量都可经向量组\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p线性表出$

$\therefore 向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t可经向量组\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p线性表出\qquad \mathcal{Q.E.D}$

向量组等价的性质：

1.自反性：每个向量组都与它自身等价

2.对称性：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 等价,那向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 也与 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 等价

3.传递性：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 等价, $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 与 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p$ 等价,则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 与 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_p$ 等价

线性相关

定义1：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge 2)$ 中有一个向量可以由其余的向量线性表出,则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 称为线性相关的

注：任一包含零向量的向量组一定是线性相关的

定义2：若有数域P中不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_s(s\ge 1)$ 使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ,则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关

注：向量 $\alpha$ 构成的向量组线性相关即 $\alpha=0$

证明：定义1定义2在 $s\ge 2$ 时一致

证明：

$若按定义1,向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性相关$

$则其中有一个向量是其余向量的线性组合,不妨设为a_s$

$\alpha_s=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_{s-1}\alpha_{s-1}$

$改写一下有$

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_{s-1}\alpha_{s-1}+(-1)\alpha_s=0$

$\because k_1,k_2,\cdots,k_{s-1},-1不全为零$

$\therefore 这个向量组按定义2线性相关$

$若按定义2,向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性相关$

$即有不全为零的数k_1,k_2,\cdots,k_s使得$

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$

$\because k_1,k_2,\cdots,k_s不全为零,不妨设k_s\neq 0$

$\therefore \alpha_s=-{k_1\over k_s}\alpha_1-{k_2\over k_s}\alpha_2-\cdots-{k_{s-1}\over k_s}\alpha_{s-1}$

$即\alpha_s可被其余向量线性表出$

$\therefore 这个向量组按定义1线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

性质：若一向量组的一部分线性相关,则这个向量组线性相关

证明：

$设向量组为\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\cdots,\alpha_r(s\le r)$

$其中一部分,不妨设\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性相关$

$即有不全为零的数k_1,k_2,\cdots,k_s使得$

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$

$\therefore k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s+0\alpha_{s+1}+\cdots+0\alpha_r=0$

$\because k_1,k_2,\cdots,k_s不全为零$

$\therefore k_1,k_2,\cdots,k_s,0,\cdots,0不全为零$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

线性无关

定义1：若没有不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_s(s\ge 1)$ 使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ,则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关

定义2：若由 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$ 可推出 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ ,则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关

注：

1.若一向量组线性无关,则它的任一非空部分组线性无关

2.n维单位向量 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 组成的向量组线性无关

证明：

$k_1\varepsilon_1+k_2\varepsilon_2+\cdots+k_n\varepsilon_n=0$

$k_1(1,0,\cdots,0)+k_2(0,1,\cdots,0)+\cdots+k_n(0,0,\cdots,1)$

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)=(0,0,\cdots,0)$

$\Rightarrow k_1=k_2=\cdots=k_n=0$

$即\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n线性无关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

线性相关判别

判别一个向量组 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,s$ 是否线性相关

即判别方程 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s=0$ 有无非零解

对应齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{s1}x_s=0\\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{s2}x_s=0\\ \cdots\\ a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots+a_{sn}x_s=0\end{cases}$ 有无非零解

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关的充要条件为齐次线性方程组只有零解

注：若向量组 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,s$ 线性无关,则在每个向量上添一个分量得n+1维向量组 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in},a_{i,n+1}),i=1,2,\cdots,s$ 也线性无关

定理：给定两个向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 满足：

1. $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 可经 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出

2. $r\gt s$

则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性相关

证明：

$由1有\alpha_i=\sum\limits_{j=1}^st_{ji}\beta_j,i=1,2,\cdots,r$

$要证\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性相关$

$只需证存在不全为零的数k_1,k_2,\cdots,k_r使得$

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$

$作线性组合x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_r\alpha_r$

$=\sum\limits_{i=1}^r x_i\sum\limits_{j=1}^s t_{ji}\beta_j$

$=\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=1}^s t_{ji}x_i\beta_j$

$=\sum\limits_{j=1}^s(\sum\limits_{i=1}^r t_{ji}x_i)\beta_j$

$r\gt s,对于齐次方程组$

$\begin{cases}t_{11}x_1+t_{12}x_2+\cdots+t_{1r}x_r=0\\ t_{21}x_1+t_{22}x_2+\cdots+t_{2r}x_r=0\\ \cdots\\ t_{s1}x_1+t_{s2}x_2+\cdots+t_{sr}x_r=0\end{cases}$

$未知量个数大于方程个数,有非零解$

$\therefore 存在不全为零的数x_1,x_2,\cdots,x_r使\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s的系数全为零$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

几何意义：

1.在三维空间,若s=2,可以由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表出的向量显然在 $\beta_1,\beta_2$ 所在平面上,它们共面, $r\gt 2$ 时,它们线性相关,两个向量组 $\alpha_1,\alpha_2$ 与 $\beta_1,\beta_2$ 等价意味着它们在同一平面上

推论1：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 可经向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表出,且 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 线性无关,则 $r\le s$

推论2：任意n+1个n维向量必线性相关

证明：

$每个n维向量都可被n维单位向量\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n线性表出$

$n+1\gt n$

$\therefore 必线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推论3：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量

极大线性无关组

定义：若一向量组的一个部分组是线性无关的,且从这向量组中任意添一个向量,所得的部分向量组都线性相关,则称该部分组为极大线性无关组

注：

1.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身

2.向量组的极大线性无关组不是唯一的

3.一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的

4.含非零向量的向量组一定有极大线性无关组,且任一无关的部分组都可扩充成一个极大线性无关组

5.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组

性质：任意一个极大线性无关组与向量组本身等价

证明：

$设向量组为\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\cdots\alpha_r$

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s为它的一个极大线性无关组$

$要证它们等价$

$只需证它们可以互相线性表出$

$\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s是\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r的一部分$

$显然\alpha_i=0\alpha_1+\cdots+1\alpha_i+0\alpha_{i+1}+\cdots+0\alpha_r,i=1,2,\cdots,s$

$即\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r线性表出$

$下证\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\cdots\alpha_r可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性表出$

$显然\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s中每个都可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性表出$

$考察\alpha_{s+1},\cdots,\alpha_r中的向量$

$对于其中任意向量\alpha_j$

$\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s一个极大线性无关组$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\alpha_j线性相关$

$即有不全为零的数k_1,\cdots,k_s,l使得$

$k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s+l\alpha_j=0$

$\because \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性无关$

$\therefore l\neq 0$

$若不然,即l=0$

$则k_1,k_2,\cdots,k_s不全为零$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性相关,矛盾$

$由l\neq 0可得$

$\alpha_j=-{k_1\over l}\alpha_1-{k_2\over l}\alpha_2-\cdots-{k_s\over l}\alpha_s$

$即\alpha_j(s\lt j\le r)可被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性表出$

$\therefore 向量组与它的极大线性无关组等价\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：一向量组的极大无关组都含有相同个数的向量

向量组的秩

定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

注：

1.一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量个数相同

2.等价的向量组必有相同的秩

3.全部由零向量组成的向量组秩为零

方程组与向量

给定方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=d_1\qquad (A_1)\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=d_2\qquad (A_2)\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+a_{s2}x_2+\cdots+a_{sn}x_n=d_s\qquad (A_s)\end{cases}$

各个方程所对应的向量分别为 $\alpha_1=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},d_1)$ , $\alpha_2=(a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n},d_2)$ , $\cdots$ , $\alpha_s=(a_{s1},a_{s2},\cdots,a_{sn},d_s)$

设方程 $b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n=d\qquad (B)$

对应向量为 $\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n,d)$

则 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合 $\beta=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_s\alpha_s$ 当且仅当 $(B)=l_1(A_1)+l_2(A_2)+\cdots+l_s(A_s)$

即方程 $(B)$ 是方程 $(A_1),(A_2),\cdots,(A_s)$ 的线性组合,显然方程组 $(A_1),\cdots,(A_s)$ 的解一定满足 $(B)$

设方程组 $\begin{cases}b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=c_1\qquad (B_1)\\ b_{21}x_1+b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=c_2\qquad (B_2)\\ \cdots\\ b_{r1}x_1+b_{r2}x_2+\cdots+b_{rn}x_n=c_r\qquad (B_r)\end{cases}$