0. 符号

• 设矩阵，按列分块以及按行分块是

• 是第位为，其余为的向量：
  
  具体尺寸根据上下文来确定。

• 是单位阵，具体大小由实际乘法中的位置决定。对于的单位阵可以表示为

1. 初等行变换

初等行变换包含三种运算：

• 调换任意两行
• 某一行乘以一个非零数
• 某一行乘以一个非零数加到另一行上

1.1 调换任意两行

设表示将单位阵的第两行互换，即

命题：的结果，等价于将的第两行互换。

因为，于是上面的矩阵是

1.2 某一行乘以一个非零数

设表示将单位阵的第行乘以一个非零数，即

命题：，等价于将\boldsymbol{A}的第行乘以。

于是，结果的矩阵可以发现，若，则结果矩阵是，而出现，当且仅当，即第行，于是命题成立。

1.3 某一行乘以一个非零数加到另一行上

设表示将单位阵的第行乘以一个非零数加到第行，即

命题：，等价于的第行乘以一个非零数加到第行。

与上面的证明方法类似，但是结果的第行为

其中对，有
从而

即结果的第行是的第行乘以一个非零数加到第行，其余行与相同。

2. 初等列变换

初等列变换包含三种运算：

• 调换任意两列
• 某一列乘以一个非零数
• 某一列乘以一个非零数加到另一列上

我们先来证明下面三个命题：

1. 的转置，就是将的第列乘以。这是显然的，因为是对称阵，故而它的转置仍然保持不变，而中，位于第行，也位于第列，从而命题成立。
2. 的转置，就是将的第列和第列交换（假设）。因为于是显然转置操作没有改变各个列的相对位置，的第列和第列交换了。
3. 的转置，就是将的第列乘以再加到第列上去。因为于是

综上，我们仍记表示的第列乘以非零数的结果，它等于；记表示的第列乘以非零数加到第列的结果，它同样等于；记表示的第列和第列互相交换的结果，它等于。

2.1 调换任意两列

命题：的结果，等价于将的第两列互换。

因为

因为对的转置的第行互换，这就等于把的第列互换，所以命题成立。

2.2 某一列乘以一个非零数

命题：的结果，等价于将的第列乘以。

因为

因为对的转置的第行乘以，这就等于给的第列乘以，所以命题成立。

2.3 某一列乘以一个非零数加到另一列上

命题：的结果，等价于将的第列乘以再加到第列上。

因为

因为把的转置的第行乘以再加到第行，就等于把的转置的第列乘以再加到第列上。

3. 初等变换保秩

命题：对任意矩阵进行初等行/列变换，矩阵的秩不变。

设任意矩阵，对其初等行变换对应于左乘中的一个，同样对其初等列变换对应于右乘中的某一个，于是经过有限次初等变换得到矩阵，表示为其中。