勾股定理

勾股定理在今天大家都在熟悉不过了，当我在还未学习勾股定理的时候，这个定理在我的脑海中是一个非常复杂，且困难的定理。但是虽然我们人人都在学习勾股定理，但是有哪些人能真正从勾股定理的诞生证明到成立去完完整整地走一遍呢？今天我就来走一遍！

勾股定理一定不是凭空而来的，而是某一个特殊的情况导致了勾股定理的诞生。

首先我们想想任意一个三角形的性质都有哪些？两边之和大于第三边、内角和等于180度、三角形的一个外角等于两个不相邻的两个内角之和、稳定性、还是三角形的外角和等于360度呢，这些三角形都有许多的性质。但这只是任意一个三角形，如果我们说直角三角形有哪些性质呢？

比如说除了90度角剩下的两个锐角互余、稳定性、还有当三角形的三个内角满足30度60度与90度的时候，最短的那个直角边的长度是斜边的一半。这些都是直角三角形的基本性质。

那么既然直角三角形的三个角有这种特殊的关系，那么这三个边又有怎样的特殊关系呢？这三边关系也就是本章我们要探索的勾股定理

如果我们随便在纸上画几个任意的直角三角形，我们会发现，无论你怎样画它的斜边永远是最长的。

从上面这张图就可以看出来斜边是最长的一条边，但是我们想要要真正研究三边关系，还得看三边的长度，具体数值有哪些特殊的关系。先来看一下这张图

如果一个小方格的边长为一的话，那么三角形的三边长度，我们是得不出什么关系的但是他旁边又附加了正方形，我们不妨先看一下正方形到底有什么特殊关系，如果我们得出了正方形有什么特殊关系，那么只要再给每个正方形竖直加一个√即可。这也就是边的关系。

这个时候如果我们把这途中三个正方形拼起来的一个直角三角形拼到右边那个大正方形的里面，只要把一个小三角形的面积×4那么就可以得出大正方形的面积，也就是18。

我再来看下面两个小正方形的边长，两个小正方形的面积是一样的而一个小正方形的面积为3×3等于9，而9+9等于18所以两个小正方形的面积加起来就等于大正方形的面积。那么如果换一种表示方式的话，那就是根号小正方形的方，再加上根号小正方形的方等于根号大正方形的方，这样我们就清清楚楚地得到了一个猜测：A的二次方，加上B的二次方等于C的二次方。这也是直角三角形三边关系的一个雏形。

那么我们得到的猜想是否有普遍性呢？如果一个三角形的直角边分别是1.6和2.4那么猜想是否成立呢？我们得到的斜边，结果非常的不准确。甚至可以说是不相等。此时我们怀疑我们的猜想是否具有普遍性，最好的方法就是去推理证明。

如何去推理证明，首先一定得把我们之前用的数方格的方法去掉。因为书方格会给我们带来确定的数据，而我们现在的数值不能确定。

我们先来看一张图片：

这个就是不带方格的三边关系图，但是我们要证明的话，我们需要用某种等式去把它表示出来。我们先看一下右面这张图。我们是否能用两种方式把这个大正方形的面积表示出来呢？

第一种方法直接拿边长乘以边长，也就是括号A + B的方。还有一种方法就是把这个大正方形里边的三角形和小正方形的面积加起来，那就是二分之A B ×4再× C的方。那么既然我们表示的这两个面积都是大正方形的面积，那么我们不妨写一个等式。

通过这个等式，我们就可以证明出，我们刚刚得到的三边关系的猜想，也就是A的方+ B的方等于C的方。现在我们也是真正证明出来勾股定理的人了。他现在已经是定律了，我们可以用了。

但是到了这一步，我就要追问，他有逆命题吗？他的逆命题成立吗？

之前我们在直角三角形中找三边的关系，那么我们现在如果知道了三边，能不能推出来构成这三边的三角形是一个直角三角形呢？

如果想要证明是一个直角三角形，我们不可能凭空的找到一个三角形，然后通过不告你任何条件去证明出来，他有一个直角。唯一的一个可能是我们找一个直角三角形，然后再找另一个直角三角形，看他三边是否满足那个关系。再看这个随意找到的三角形是否与这个直角三角形相等，这个时候我们就需要用全等证明了。

首先我们要清楚右边这个位置的三角形，他不是直角三角形，而且右边的这个三角形它的两个直角边的方等于斜边的方，这是我们已知的条件。

当然，我们肯定是想把这个三角形求证，使它成为直角三角形。因为另一个直角三角形的斜两个直角边的方相加得出的一个数字。那么我们现在要怎样使右边的这个三角形变成直角三角形呢，很显然我们需要证明全等，然后右边的这个三角形也满足有直角的条件了。

他们的相同点都是两个边的方加起来等于斜边，那么我们只要让这两个边相等，那么它们的斜边也必定相等，这三条边相等，我们就能拿SSS推出来这两个三角形全等了。想要让这两条对边相等也很简单，只需要拿尺规作图，使他们相等就可以了。

现在我们也证明出来了，勾股定理的逆定理。

本单元给我带来了很多的疑惑，最大的疑惑也是最重要的地方就是定理和逆定理的证明。我想这种证明你不能直接给他一套等式，然后写出来就等于那个定理。我还是觉得我们用两个面积相等的证明方式有点太牵强了。还有就是逆定理的证明，我们直接给他赋予了一个直角。但是在后面的理解当中，我也渐渐能理解这个逻辑了。但是这个逻辑比我想象的远远复杂得多，但发明出来的人更是聪明。

我想他为什么诞生也是一个很重要的地方，可能古人们通过一种生活上的规律直接想象出了直角三角形三边的关系，这是一个很重要的想法。因为开普勒在当年不怎么了解天人学的情况下，在一个圆锥体身上找到了灵感写出来了一套公式，而这个公式在几年之后直接可以运用在天文学上，而且分毫不偏差。这些也是能给我带来很大兴趣的。在本单元的末尾，我也觉得收获了很多，对勾股定理的认知也发生了天翻地覆的大转变！