微积分学习笔记-指数函数

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-12-01 23:25 被阅读0次

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反函数的导数法则

如果f在区间I上每个点可微且 $\frac{df}{dx}$ 在I上从不为0，则 $f^-1$ 在区间f(I)的每个点可微。 $\frac{df^{-1}}{dx}$ 在任一特定点f(a)的值是 $\frac{df}{dx}$ 在a的值的导数
$(\frac{df^{-1}}{dx})_{x = f(a)} = \frac{1}{(\frac{df}{dx})_{x=a}}$
或 $(f^{-1})' = \frac{1}{f'}$

定义数e

$e = ln^{-1} 1$

自然指数函数

对于每个实数x, $e^x = ln^{-1}x$

关于 $e^x$ 和 $lnx$ 的互为反函数等式

$e^{lnx} = x$ (所有x > 0)
$ln(e^x) = x$

$e^x 的导数和积分$

$\frac{d}{dx}e^u = e^u \frac{du}{dx}$
$\int e^u du = e^u + C$

超越数和超越函数

一个数如果是带有理数系数的多项式方程的解是代数数, 超越数是超越代数数能力的数。比如 $e$ 和 $\pi$ 。
不是代数函数的函数是超越函数，如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数。

例1 对指数函数求导

(1) $\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$
(2) $\frac{d}{dx}e^{sin(x)} = cos(x)e^{sin(x)}$

例2 积分指数函数

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{sin(x)} cos(x) dx = [e^{sin(x)}]_0^{\frac{\pi}{2}} = e - 1$

用极限表示数e

数e是极限
$\lim_{x \to 0}(1 + x)^\frac{1}{x} = e$

用Julia语言计算代码如下:

(1 + eps(1.0)) ^ (1/eps(1.0))
// 2.718281828459045

一般指数函数 $a^x$

对于任何a > 0和任何x
$a^x = e^{xlna}$

例6 求指数函数值

$2^{\sqrt{3}} = e^{\sqrt{3} ln2} = 3.32$
$2^{\pi} = e^{\pi ln2} = 8.82$

幂法则

若u是正的而n是任何实数，则 $u^n$ 是x的可微函数, 且
$\frac{d}{du} u^n=u^{n-1}\frac{du}{dx}$

$a^u$ 的导数和积分

若a > 0, 且u是x的可微函数，则 $a^u$ 是x的可微函数,且
$\frac{d}{dx}a^u = a^u lna \frac{du}{dx}$
$\int a^u du = \frac{a^u}{lnu} + C.$

例7 对一般指数函数求导

(a) $\frac{d}{dx} 3^x = 3^x ln3$
(b) $\frac{d}{dx}3^{-x} = 3^{-x}(ln3)\frac{d}{dx}(-x) = -3^{-x}ln3$

例8 积分一般的指数函数

(a) $\int2^xdx = \frac{2^x}{ln2} + C$
(b) $\int2^{sin(x)} cosx dx$
$= \int 2^u du = \frac{2^u}{ln2} + C$
$= \frac{2sin(x)}{ln2} + C$

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