行列式和迹

行列式：

1，行列式的物理意义是什么？一个目前最受认可的答案：一个超立方体的体积，但这个体积有正负。

2，行列式的性质：

(1)矩阵A的行列式等于它的转置的行列式。

(2)互换矩阵的两行(列)，行列式变号。

(3)矩阵两行（列）完全相同，则行列式等于零。

(4)矩阵某一行（列）中所有元素乘以同一数k, 等于用数k乘以此行列式。

(5)矩阵中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

(6)矩阵中如果有两行（列）成比例，行列式等于零。

(7)矩阵的某一列（行）的元素都是两数之和，则D为相应两个分矩阵行列式之和。

(8)矩阵可逆，当且仅当它的行列式不为零。

迹：

2，迹又该怎么理解？

迹的定义是主对角线是元素的和，线性代数中有定理：相似矩阵迹相等。

(1)一个矩阵的迹等于特征值之和。

迹与行列式：其中a1,a2,a3,...,an为矩阵A的特征值,重根重复记，则：

行列式和迹与特征值

(2)计算若干个同样大小的方形矩阵的乘积的迹数时，可以循环改变乘积中方形矩阵相乘的顺序，而最终的结果不变.

此外，为了理顺某些常用的概念，再引入核范数nuclear norm的定义，核范数指的是矩阵奇异值的和，核范数是用来约束矩阵的低秩(low-rank)性质的。核范数通常用在约束具有结构性信息的矩阵中，如果矩阵各行之间存在一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。核范数是对低秩约束的一个凸近似。