人工智能通识-数学-矩阵乘法的线性方程意义

作者: zhyuzh3d | 来源:发表于2019-02-02 10:48 被阅读12次

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继续前一篇零基础矩阵运算，来进一步学习矩阵乘法运算的意义。

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矩阵的加法和我们熟悉的加法一样，但矩阵的乘法更像是把第二个矩阵当做权重来考虑，为第一个矩阵求加权和，计算法则是 $y$ 行乘 $x$ 列得到第 $y$ 行 $x$ 列，即：

$\begin{bmatrix} a_1,&b_1,&c_1\\ a_2,&b_2,&c_2\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} w_a,s_a\\ w_b,s_b\\ w_c,s_c\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\times w_a+b_1\times w_b+c_1\times w_c,a_1\times s_a+b_1\times s_b+c_1\times s_c\\ a_2\times w_a+b_2\times w_b+c_2\times w_c,a_2\times s_a+b_2\times s_b+c_2\times s_c\\ \end{bmatrix}$

对应的三个表格是：

Data数据表：逐条数据（每家店铺各类商品销量）

行数	a类	b类	c类
row01	$a_1$	$b_1$	$c_1$
row02	$a_2$	$b_2$	$c_2$

Weight权重表：各类双权重（每类商品单个销售价weight和进货价scale）

类型	weight权重	scale放缩
a类	$w_1$	$s_1$
b类	$w_2$	$s_2$
c类	$w_3$	$s_3$

Result结果表：加权和结果（每家店铺销售总额和进货总额）

条目	weight加权和	scale加权和
row01	$a_1\times w_a+b_1\times w_b+c_1\times w_c$	$a_1\times s_a+b_1\times s_b+c_1\times s_c$
row02	$a_2\times w_a+b_2\times w_b+c_2\times w_c$	$a_2\times s_a+b_2\times s_b+c_2\times s_c$

综上，数据表多1行，结果就多1行；权重表多1列，结果就多1列；数据表的列数必须与权重表的行数相同。在乘法中前后两个矩阵顺序不能互换。

二项式意义

假设我们只有 $x$ 和 $y$ 两种商品类型的2条数据（2家店铺）， $x$ 和 $y$ 两种商品类型的权重 $w$ 未知（销售价未知），但加权和也就是总销量已知，那么理论上也应该能够求出 $w$ 权重表。

$\begin{bmatrix} 4,&2\\ 3,&4\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 8\\ 11\\ \end{bmatrix}$

既然是加权和结果，那么我们就可以写作：
$\begin{cases} 4x+2y=8\\ 3x+4y=11\\ \end{cases}$

求 $x,y$ ：把 $4x+2y=8$ 两端乘以2得到 $8x+4y=16$ ,与 $3x+4y=11$ 相减消去 $y$ ，得到 $5x=5$ 即 $x=1,y=2$ 。

实际上矩阵乘法可以看做多项式线性方程的简化写法，即：
$\begin{bmatrix} a_1,&b_1\\ a_2,&b_2\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x_w\\ y_w\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1x_w+b_1w_b \\ a_2x_w+b_2w_b\\ \end{bmatrix}$
我们更倾向于调整一下 $xy$ 的表示：
$\begin{bmatrix} a_1,&b_1\\ a_2,&b_2\\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} w_a\\ w_b\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \end{bmatrix}$
$\begin{cases} a_1w_a+b_1w_b=y_1\\ a_2w_a+b_2w_b=y_2 \end{cases}$

关于两列权重的情况请大家自己推理。

矩阵乘法的变量关系

如果我们已知一些条目数据（比如多家店铺多个商品的销售量），以及对应的结果数据（比如销售额），而这些条目数据和结果数据背后隐藏着某种线性相关，可以通过某些特定的加权值求和得到结果数据，那么矩阵乘法就可以表示这样的关系了。

已知多个条目（样本）和结果（标签）求权重，这是机器学习和神经网络的基本思想。

比如的房屋租金预测问题，已知100个包含房屋面积、房屋年龄等多列特征的租房信息（条目样本）以及对应的月租金额（标签结果），如果我们能找到面积的权重、房龄的权重以及每列特征对应的权重，那么我们就可以用这些权重来预测任何面积和房龄的房屋的租金了。

样本表（已包含租金结果）

条目	面积	房龄	租金(结果/标签)
阳光花园3#401	90	3	7200
乐享花园4#201	60	6	3200
...	...	...	...

权重表

因素类型	权重
面积	$w_1$
房龄	$w_2$
...	...

结果表

条目	租金(结果/标签)
阳光花园3#401	$90w_1+3w_2=7200$
乐享花园4#201	$60w_1+6w_2=3200$
...	...

实际上这里的 $w_1$ 和 $w_2$ 未必有解，尤其是数据条目有100条的时候，根本不可能100个方程共用2个权重，这就好像并非每家店铺的进货价都一样，销售价都一样，那不太可能。但是我们所需要寻找的正是100条数据样本中的规律，或者说就是有那么两个权重，对100条数据来说都接受的比较好，——虽然都不满意，但也都相差不大，只要总体相差最小的就可以了。

机器学习和神经网络的这个套路一定能成功吗？未必。比如，如果房屋面积和最终租金不是简单线性加权关系，而是是乘方立方n次方关系的话就不行了；更无法确定的是，如果是非线性的离散关系甚至更复杂的关系，也会导致结失败。——所以，机器学习和神经网络需要用更加丰富和复杂的算法来适应更多情况。

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