数学思想方法揭秘-34后记19(原创)

作者: 道悅 | 来源:发表于2020-06-13 18:41 被阅读0次

这篇讲物化思想与虚构思想，在数学思想方法揭秘-1中曾提到物化关系和物化对象。物化顾名思义就是物质化，实体化，不玩虚的，要看得见摸得着。

这里的”物化”指的是将虚构的或隐形(隐含)的事物实体化，物质化，让它化虚为实，化隐为显，可视化。很多人造物就是物化，例如发明手机就是大脑中先有虚构的手机，再一步步变成实实在在的手机，再比如数学中的虚数，我们首先定义它，为它规定虚数单位i，还为它定义复平面，这样它就实实在在地存在了，虚数不虚，就像人类虚构发明的各种人造物一样，作用巨大。再比如几何题中的辅助线，辅助线的重要性和作用大家都知道，很多几何题如果不会作辅助线就没法解题。原题中是看不到这些线的，它们是隐形的，或者说是我们在解题过程中虚构出辅助线，再画出实实在在的线让它物化可见。

心(精神)与物(物质)、无形与有形、内在与外在、抽象与具体、本质与表象、虚(空无、虚无、虚拟、虚构)与实(实在、实体)、复杂与简单、逻辑与物理是唯物辩证法中的一对矛盾，存在对立统一的辩证关系，相互联系相互影响相互制约，相互渗透相互融合，在适当条件下可以相互转化。

人的感官和思维能力是相对有限的，相对而言不容易把握前者(心、无形、内在、抽象、本质、虚、复杂、逻辑)，而对后者的把握要强一些，要熟悉一些。大象无形，大音希声，在通常情况下我们几乎感知不到大象和大音，需要静心才能勉强感应到或借助外在工具；在天成象，在地成形，或观察它们显化的一些有形的事物来间接感知。

在一些缺少有形、有象、有物的情况下，当这种状况成为我们解决问题的障碍时，对这些(无形的、无象的、虚拟的、逻辑的)事物需要主动进行由隐到显的转化变换(外化、显化、形象化、具象化、具体化、实在化)才能更好地把握，物化思想就是一种由隐到显的思想。物化是个多义词，本文中的物化简单理解就是物质化，实体化，物理上实在化。我们对物化应该比较熟悉，例如人的思维成果一般是物化为语言和文字，大脑中的无形的所思所想实实在在白纸黑字落在语言和文字上。物化有时具有感情色彩，是一个贬义词，指过于追求物质条件。

通过从无到有(从无概念到有概念，从无形到有形，从虚到实)、从逻辑到物理、从复杂到简单，构造出实实在在的容易把握的实体对象来阐释、表征、指代那些无形的或没有对应实体的事物和关系，它通过实体性存在体现了唯物辩证法的物质第一性。

在数学中的物化思想也是为了变更问题，转化问题，具体使用时一般会运用到对应&映射、构造法、符号化、概念化、对象化、整体思想等。

纸上谈兵终觉浅，这里用5道数学题来具体阐述物化思想和虚构思想。

第一题（初中几何题）

初中题，不能用高中的二倍角公式和正弦、余弦定理。

思维过程：

审题观察，要注意运用面向特征和模式识别的解题策略，一眼就可发现的浅显的特征很多，例如等腰直角三角形ABC是特征对象，D点是特征点(直角斜边中心点)、四点共圆(A、E、D、F)。

对D点，我们很自然要连接AD，因为这样能充分利用和体现D点是中点这个已知条件的作用和特征点相关的众多性质、特征、定理结论、几何模型，这样做了后可演绎推理，增值产生很多新的信息和关系，例如可得AD=BD=BC，∠ADC为90度，∠EAD为45度。

对四点共圆，可连接EF，同理这样补全几何结构就能充分利用上四点共圆相关的定理、性质、几何模型等知识，例如顶角相等∠EFD=∠EAD=45度，∠EDA=∠EFA。

要善于应用关系思想，发现和利用题目中的各种关系。∠EDA和∠ADF存在互余关系，∠FDC和∠ADF存在互余关系，故可得出∠EDA和∠FDC存在相等关系。又∠EDA=∠EFA，故∠EDA=∠EFA=∠FDC。由已知条件可得∠ABF=2∠FDC=2∠EDA=2∠EFA。要反问自己：如何利用上这个二倍角关系？

通过反问来和自己对话，来引导或诱发自己的思维，包括直觉、灵感。

∠ABF和三个相等角∠FDC、∠EDA、∠EFA中的三个之中哪一个好利用些？观察图形，直觉告诉我们，∠EFA相对好一些。进一步追问自己，到底如何才能用好∠ABF=2∠EFA这个关系，这个关系类似方程，但在这个题目中，通过加减乘除代数运算算出∠ABF、∠EFA的具体度数并不可行。

直接利用∠ABF=2∠EFA这个关系不可行，所以要在这个关系基础上进行转化或变换，改造它。

如何变化改造，就要用到物化思维，一种想法是做∠ABF的角平分线，构造出它的二分之一角(角度等于∠EFA)，也就是通过构造法来物化出一个实实在在的半角。

不过凭直觉，感觉通过对称，在∠EFA位置处物化构造出一个2倍∠EFA更好，这个角在物理上实实在在存在，也就是把∠ABF=2∠EFA转化为∠ABF=这个角，这个角是一个数学对象实体，或者说2∠EFA的值就对应这个实体角。

故探索出如下的方法。

这个方法中物化构造出的角就是∠EFA，它是实实在在的具有几何意义的物理上存在的角，从等量代换上看，此角就是∠ABF的数学孪生对象实体。

类似其他几何题中的线段关系a=b+c, 取长补短，一般要么在a上截取b或c，例如截取b，则a上剩下的一段为c′, 它是c的孪生对象，长度等于c；要么延长b或c，例如延长b，构造出a′，它是a的孪生。

这题是对关系的物化，第二题是对代数式的物化。

第二题

已知 $x$ 为实数，求 $\frac{3x^2+4\sqrt{3}x +1}{x^2+2} 的最大值和最小值。$

结论中的代数式是个分式，我们先前进过对象化思想，求啥就设啥，把这个代数式看作一个整体对象, 用整体换元主动物化它。

令 $\frac{3x^2-4\sqrt{3}x +1}{x^2+2} =m$ ，此处的求啥设啥就是求这个代数式，就设这个为m。在没有用m代表它之前，这个代数式其实是没有一个实体和它对应的，也就是没有对象话(它是无名的)，物化后，m就是它的对象名称，就是实体对象的标识符号，就增加了抓手或可达性。

则 $(3-m)x^2 -4\sqrt{3} x +1-2m=0$

当 $m\neq 3时，由判别式\geq 0可得$ ：

$48-4(3-m)(1-2m)\geq 0$

$-1\leq m\leq \frac{9}{2}$ ，m=3也在这范围内。

故所求的最大值和最小值分别为 $\frac{9}{2} 和-1$ 。

第三题

初中几何题，不能用高中的三角知识(正弦定理、余弦定理、三角函数和差公式)

$三角形ABC中，\measuredangle A=3\measuredangle C，BD为\measuredangle B的角平分线，AB=6\sqrt{2} ，BC=10\sqrt{2}，求CD长度。$

这题要处理好已知条件 $\measuredangle A=3\measuredangle C$ ，要反问自己如何利用这个已知条件，通过反问来引导自己的思维，诱发灵感。念念不忘，必有回响，相信自己的内心会给出恰当的回应和感觉。

两种方法。

方法一，

这题通过构造 $\measuredangle ACE和\measuredangle AEC两个实体对象来表达\measuredangle A=3\measuredangle C关系，一个等于\measuredangle C，$ $一个等于2\measuredangle C$ 。

这样物化两个角之后，发生连锁反应，产生了增值(新)信息，例如发现 $\Delta BEC是等腰\Delta ，BF垂直于CE，$ $F是CE中点。$ 对象之间的相互关系变顺畅变融洽变紧密了，矛盾和解题障碍变少了，棋局变活了，这样才算利用好了已知条件，感觉从先前的山重水复疑无路，转到柳暗花明又一村，峰回路转，这是问题成功解决的征兆。

先前讲过命题人思维，要猜想揣摩命题人的心思和他们的出题手段。这道题，命题人有可能是将等腰三角形BEC中的AEC切掉后来命题。在解题时就要反向溯源，抓住已知条件和结论中泄露的蛛丝马迹来反向推测。这道题运用外角等于两个内角之和来重构还原出原来被切掉的几何结构。

方法二，结合已知条件观察几何图形，BD是角平分线，也是共边，联想到三角形全等模形SAS(边角边)，和模型很接近，还差一条边，故如图作BE=AB，构造全等三角形模型。同 $时可看出通过全等也改变了\measuredangle A的方向和位置，也就是将\measuredangle A 等量转移到\measuredangle DEB。\measuredangle DEB是\measuredangle A的替身，$ $它和\measuredangle C之间的相对方位好，距离近，和\measuredangle C联系更紧密，便于利用\measuredangle A=3\measuredangle C这个已知条件。$

第四题

这题有两个2倍角(角ABC=角ACB=2倍角ACD)，但我们可从几何直观上感觉到这些角之间在位置和方向上不协调，增加了解题难度。几何图形中几何对象相互之间的位置和方向是影响几何题解题的两个重要因素，位置、方向不协调就要想办法调整改变，例如作辅助线或作几何变换。

对这道题，图中存在等腰三角形，且BD和CE长度已知，从几何直观上，我们要感觉到对称性，同时要感觉到存在一条长度为3的隐藏线段。把这条隐藏线段通过构造物化出来，如下图，延长AE到F，令AF=AD，易知EF=3。连DF，AFD为等腰三角形，且FD平行于BC，故角DFA=角ACB=2倍角ACD。此时观察由点C、D、E、F构成的图形，从直观上已经感觉这些线段、角之间在位置和方向上的和谐度比先前有了较大提升，也就是”问题熵”减小了，可以沿用我们处理二倍角的经验了。延长EF到G，令FD=FG。易证DG=DC，三角形GDE全等于CDE，故GE=EC=8,故GF=GE-FE=5=FD，可得DE=4。在三角形DEC中，可用勾股定理求出CD。