数学思想方法揭秘-29后记14(原创)

  这篇以模式观和模式思维为主线，结合讲解抽象、合情合理猜想、逼近对齐思想、对应、直觉思维和破局思维，因为它们存在相互联系，在解题中可能会一起使用。

  什么是数学或数学的本质：数学是研究模式的科学

  我们对模式并不陌生，例如教学模式、商业模式。模式就是模板，标准化的可重用的方式或程序。

  恩格斯曾说过：数学是研究数量关系和空间形式的科学。随着时代发展，人们对数学的本质认识也越来越深刻，数学是研究模式的科学或面向模式的科学，早已成为共识。这里的模式指的是某种联系、结构或规律、规则。数学家的所作所为，就是去寻找和识别各种事物和问题中蕴含的(抽象)数学模式、构建数学模式、扩充和发展数学模式，例如数量关系模式、空间结构模式、运动模式、行为模式、模式的模式,乃至思维和想象之中的模式等。数学也是一种语言，用来描述这些模式。数学应用即是利用这些模式对各种现象和问题作出解释和预测。

    一种特定的研究之所以被归类为数学，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究。也就是说，基于被使用的方法论,因此在艺术中，例如音乐、舞蹈、书法、绘画中也存在数学的模式。

    根据数学的模式观，各种数学概念、数学公式、数学定理、算法, 都应看作为数学模式，各种数学问题的解决方法、各种数学理论结构体系以及各种思维方式和数学思想方法, 也都属于数学模式。

    数学模式的例子：

      通过一个苹果加两个苹果等于三个苹果，可抽象出“1+2=3”模式和加法模式。

      看到3个人，3块饼干，我们抽象出自然数”3”这个模式。

        勾股定理、几何点线面、三角形、长方形、平面、三维立体、面积、体积、方程、函数、微积分也是模式。

模式与模型的区别与联系

    模型要具体一些，更贴近现实原型一些，模式比模型更抽象，层次更高，适用面更广泛，或者说模式是模型的二次或多次抽象(抽象再抽象)。一定意义上(不严格)，可以认为模型是模式的子集。

寻找目标模式&建构模式&设想模式

    模式观指导下的模式思维的关键是模式识别和模式建构。目标模式，这些模式可能是已存在的模式，也可能是新模式。解决问题时，需要借助联想、类比、转化、抽象、比较、对应等识别出问题对应匹配的(已存在的)模式，对新模式，除了联想、类比、抽象等这些之外，要更多地借助经验、实验、合情合理的猜想、归纳、直觉来建构模式或设想某种模式。

    我们在初中数学中用待定系数法进行因式分解就是合情合理地设想分解后的结构模式，例如

。

等号右边就是我们合情合理设想出的分解后的结构模式，在设想出模式后，求待定系数时，我们还可以合情合理地利用特殊值法加快待定系数的求解。

例1.高中题

已知a、b、c为正数，且证明：

  首先运用矛盾分析法。观察这题的已知条件和结论特征，最显著的特征是根号，根号隔开了4a+1、4b+1、4c+1。显然如果没有根号，4a+1、4b+1、4c+1三个相加，就可利用上已知条件a+b+c=1。都是因为存在根号，它不但隔开了结论中的4a+1、4b+1、4c+1,也切断了结论和已知条件的联系，不利于解题。它是解题障碍，是制造理想与现实对立差异(矛盾)的根源，我们要想法消除它或克服超越它造成的解题困难。这就是辩证法中的矛盾分析法，通过分析找出矛盾，再化解和调和矛盾，对此题就是要消除根号或化解它的不利影响。

下面给出4种证明方法，重点领悟这些方法的思维过程，方法不重要。

方法1.换元法

初步评估判断：不等式左右两边直接平方消根号不可行。

要消除根号，结合我们的经验与知识，最先应该想到惯用的换元法(它也是模式)，对3个根号进行换元。

令，

。结论变为证明,这是我们的目标，要有目标意识。

注：由于网页中的数学公式经常出现解析错误，显示不了，还有一种情况在chrome浏览器上显示正常，但在其它浏览器上显示不了，所以把本系列中容易出现公式解析错误的地方换成了图片。

要有目标意识，向目标中的x+y+z的形式逼近对齐，所以上式继续变形如下：

解不等式可得

。得证。

此方法运用换元法，并且换元有个技巧，用的是，自己思考下为何要这样？

上面是求x+y+z的下限(大于多少)，如果要求x+y+z的上限(小于多少)，自己思考下如何求。

要求上限，进行合情合理的设想，就是要变出类似如下形式的目标不等式

x+y+z的多项式   某个常数

这个就是我们设想的目标，这个目标也是模式，得到这个目标后再解不等式得到上限。

。

向这个目标逼近，显然要建构出，也就是建构关系，没有关系就要建立关系，没有条件就创造条件。

它不太可能和一次形式的x+y+z存在联系，优先想x+y+z的二次形式(平方)。

如果熟悉柯西不等式，很快联想到柯西，可得到。

即便不熟悉，也可在经验和直觉基础上或合情合理设想得出：

设想出来后，还要通过严格的证明来验证它，不用柯西也很好证明这个设想，此处省略证明。

下面就很好解决了。

，这就是上限，对应的

如果熟悉函数的凹凸性质和琴生不等式，也可求上限。

令函数,函数图像如下图，凹凸性：二阶导数"()<0,故上凸。由琴生不等式可得：

方法2  合情合理的设想

根据前面的矛盾分析，要化解根号的不利影响。除了换元法之外，还有哪些方法能消除根号的影响。

观察结论，可以发现3个根号在形式上具有共性，可以抽象为函数 (0<x<1),则结论变为

我们想要消除根号的影响，可以合情合理的设想，条件a+b+c=1是一次，所以设想

如果有，并且。就是合情合理设想出的模式。

良好的愿望要有，要大胆设想美好的理想愿望，万一实现了呢。

假设，为待定系数。基于这个假设进行探索设想成立的必要条件和充要条件，也就是验证这个设想是否成立。

两边平方后整理可得：

不等式右边为递增函数，显然当x=1边界值带入上式也应成立，所以 ，得出。根据要证明的结论k应取上限为好，也就是取，由于x实际上不能为1或0，故，而不是。

上面的思维过程和逻辑推理是在幕后的，是在草稿纸上和大脑中探索解题方法的过程。正式的证明如下：

令 ，

易证，省略此证明。

所以

      =  证毕

    合情合理的猜(设)想首先要结合问题的实际情况(已知条件和结论)，也就是问题上下文，设想要合乎情理，合乎一定的逻辑，顺理成章，不能天马行空随意发散随意想象，要有目标意识，就像放风筝要有绳子系着。但也不要完全拘泥于逻辑，要有些大胆的自由的想象，要用破局思维解放思想跳出困局，打破思维定势，跳出三界外，不在五行中。当前层次的问题，很难靠这个层次的思考来解决，要提升思维的层次来解决。欲穷千里目，更上一层楼，高屋建瓴，要有高维高观点的视角。构造法也类似，要有直觉和合情合理的猜想和破局思维。

方法3 区间端点放缩

其实通过数形结合，也可以得出上面的放缩不等式，殊途同归。

如上图，

易知这条线段的函数方程为,故有用于放缩的函数不等式：。

可见通过数形结合，我们很容易发现这个放缩不等式，明白了在正式的解题方法中它的来龙去脉。

这种放缩方法也是一种模式，可把这种放缩模式命名为区间端点线性放缩，也就是通过区间的两个端点构成的线段对应的函数进行放缩。

这里简略介绍下相关联的切线放缩。切线放缩就是在原函数图像上选取适当的点作切线，得到切线方程，结合原函数的凹凸性质，可得到原函数和切线函数的大小关系，利用这种大小关系构造函数不等式进行放缩。

还是用为例。它是上凸函数，如下图，如果我们选取其上的点作切线，求导可知在点处的切线斜率为，过该点的切线函数方程为。原函数上凸，它的曲线图像在切线下方。

方法4  运用局部调整思想的俩俩归并

a、b、c三个数之和为1，结论中的3个根号形式相同，如果熟悉局部调整思想，可以这样思考：先固定a，也就是b+c=1-a为定值、在b、c变化，但它们俩之和为定值的情况下分析的最小值或缩放下限，可理解为对这俩个根式之和进行归并，合二为一。

要得到的下限，结合b+c=1-a的已知条件，显然要对这两个根式之和进行平方去根号才能利用上这个已知条件，也就是要顺应已知条件，看菜下饭，因形就势，要借力必须要这样变换，庖丁解牛也是顺着已知条件顺着牛身体中的缝隙变换刀的方向才能高效解牛，所以解题操作变换如下，分析法证明：

=

= =

只需证明

，由于0<a<1，显然成立。

例2. 初中题

原点为O。

显然角为锐角，这题如果学过正弦定理，可知角ACB最大等价于ABC三角形外接圆半径为最小。即便初中没学过正弦定理也没关系，这题不需要用到正弦定理。

这题需要联想到外接圆和圆周角的性质。

如下图，三角形的外接圆交X轴于和两点，根据定理：圆外一点和弦所张的角小于圆周角，圆内一点和弦所张的角大于圆周角(点在弦的同一侧)。这里的弦就是AB，圆外的点就是和，所以均小于,当点在圆内，也就是在之间时，这些点和AB所张的角大于。

所以只要外接圆和X轴有两个交点，则圆周角一定不是最大值，显然进行合情合理的猜想可得出当ABC外接圆和X正半轴相切时角ACB最大，如下图，C为切点。

合理猜想得出结论后，还要严谨的逻辑证明，根据上面的定理很容易证明此时为最大角。OC为切线，有。

三角形AOC与BOC相似。

高观点，如果在高中，可用(正切)万能公式求两角之差(角ACO-角BCO)的正切最大值，可得出取最大值时OC与OB与OA存在上述关系，OC为三角形ABC外接圆切线。

例3. 初中题

这里借用数学思想方法揭秘-6中的第35题来讲解模式识别、合情合理地设想模式、联想模式、构造模式。

这题可用配方法，但配方法难在拆项拼凑，也就是正向直接拆项拼凑不可行或配几次难以配出合适的，碰壁后要提升思考的层次，要反其道而行，逆向思维，但如何反向思考得到拼凑方案。

此题用配方法要提升思维层次，合情合理识别出如下模式：

或者如下模式：

注：这个模式就是拉格朗日配方法。

这里，结合待定系数，将模式初步定型为

对应：，。可得，=。把和代入上面的模式，进一步确定模式为如下：

以上面的模式为目标，对进行有的放矢的拆项：

例4.初中题

思维过程：已知条件具有平方和特征，要求的代数式为俩俩相乘形式()。显然当a、b、c三数同号时()才能取最大值，也就是同号是取最大值的必要条件。否则如果不同号，假设是2负1正，例如a和c为负，b为正，显然将b的值调整，变成-b(负数)，三数均为负数，平方和不变，但调整后显然增大或至少非递减(考虑a、b、c有取0值的情况)。

同为正号和同为负号是等价的一 一对应的，也就是每个同为正号的情况都对应一个同为负号的情况，反之也如此，例如a=1，b=2，c=对应a=-1，b=-2，c=-。故只需考虑三个数均为正号()的情况。 

题外话：在两个数满足情况下求的最大最小值，一般运用基本不等式。x、y同号时求最大值显然简化为通常用到的。

回到本题，基于已知条件和所求代数式的特征，显然应联想到基本不等式。

合理合理设想模式：合情合理设想，构造出如下模式，

上面的内容一般是在草稿上进行的探索解题方法的思维过程。

如果本题非填空题，试卷上正式的解题过程如下，一般不会在试卷上写出上面的探索解题思路和解题方法的思维过程，也就是抹去了思维过程，拆除背后的思维脚手架，看不到思路的来龙去脉。

解：显然取最大值时a、b、c必同号( 三数均非负或均非正)。

可见草稿纸上的思维过程和试卷上的书写过程通常是相反的，分析法除外。

上面的方法运用了待定系数法，在解方程求出这些系数的过程中，一些情况下也应优先运用合情合理猜想，特别是求解的未知数较多，次数较高，此时我们一般用试根法，特殊值法(例如特殊的整数或分数)，也就是合情合理地猜想一些未知数的值代入方程进行验证，这和因式分解时运用试根法和待定系数法时是一样的，都要优先猜想根的可能值。

例5

这题和上一题类似，也是要先论证同号。

这题也存在对称性和同一性，分母都是平方，系数也相同；

分类分组：分子，a、d都出现一次，b、c出现两次,所以显然a、d对称，属于同一组；而b则与c对称，属于另一组。

几道涉及合情合理猜想的题，自己思考下如何做，都是比较简单的。

  合情合理的猜(设)想就是结合已知条件、结论的特征以及解题过程中的解题需要，自然地顺应它们，综合直觉思维，跟着感觉走，既有理性但又不失感性地合情合理猜想各种数学模式&寻找模式&发现模式，包括模型、中间结论、引理等。对设想出来的结论和引理等，还要加以证明或验证。从上面的解题也可以看出，合情合理的设想，有些涉及到模式构建，这就和构造法有联系。

 合情合理的猜(设)想不一定成功，如果碰到猜想失败，就要反思调整，发散思维，重新进行设想。

  合情合理的猜(设)想在前面的系列中也有多次使用，例如数学思想方法揭秘-5的第33题，在今日头条"数学之道"例题中也有运用。