罗尔中值定理证明2023年上海高考21题

作者: 备考999天 | 来源:发表于2023-06-08 14:56 被阅读0次

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题令函数 $f(x)=\ln x$ ,过点 $(a_1,f( a_1)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0,a_2)$ ,再过点 $(a_2,f(a_2))$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0,a_3)$ 。

若 $a_3\le0$ 则停止，以此类推，得到数列 ${a_n}$

(1) 若正整数 $m\ge 2$ ，求证: $a_m=\ln a_{m-1} -1$ ;

(2) 若正整数 $m\ge 2$ ，试比较 $a_m,a_{m-1}-2$ 的大小;

(3) 若正整数 $k ≥3$ ，是否存在 $k$ ，使 $a_1,a_2,...,a_{k-1},a_k$ 依次成等差数列? 若存在，求出 $k$ 的所有可能值。若不存在,请说明理由。

(1) 证明以点 $(a,f(a))$ 为切点的切线的斜率为 $f'(a)=\frac1a$ ，因此以点 $(a,f(a))$ 为切点的切线方程如下：

$y-\ln a = \frac{1}{a}(x-a)$

其与 $y$ 轴的交点为 $(0,\ln a -1)$ 。再结合题意得：

$a_m=\ln a_{m-1} -1$

(2) 解作差并利用(1)的结果：

$a_m-(a_{m-1}-2)=\ln a_{m-1}-a_{m-1}+1$

为了方便求解，作函数 $g(x)=\ln x-x+1$ ，其导数为 $g'(x)=\frac{1}{x}-1$ 。注意到如下结论：

$g'(x)>0\leftrightarrow 0<x<1$ ， $g$ 在 $(0,1)$ 单调递增；
$g'(x)<0\leftrightarrow x>1$ ， $g$ 在 $(1,\infty)$ 单调递减；
$g'(x)=0\leftrightarrow x=1$ ， $g$ 在 $x=1$ 取极大值。

所以，
$\max_{x>0}g=g(1)=0,g(x)<0$ if $x\ne1$
于是有 $g(a_{m-1})\le 0$ 当切仅当 $x=1$ 等号成立，所以 $\forall m\ge 2,a_m\le a_{m-1}-2$ ，等号成立的唯一条件是 $a_{m-1}=1$ 。

(3) 解满足条件的正整数 $k$ 不存在，证明如下：

作函数
$h\left(x\right)=\ln{x}-x-1 \left(x>0\right)$
则

$h'(x)=\frac1x-1(*)$

根据(2)的结论， $a_1 >a_2 >...>a_k$ ，所以下面论述是合理的：

作数列 ${a_n}$ 的相邻差得：

$a_n -a_{n-1}=\ln a_{n-1}-a_{n-1}-1=h(a_{n-1})$

设满足条件的 $k$ 存在，根据等差数列的定义， $a_n -a{n-1}=d$ 为常数，于是有：

$a_3-a_2=a_2-a_1\tag{*}$

根据罗尔中值定理，存在两个不同的实数 $r\in(a_3,a_2),s\in (a_2,a_1)$ 满足：

$h'(r)=h'(s)$
但根据 $(*)$ ，这是不可能的，矛盾，这就证明了我的结论。

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