广告系列（七）- 最优机制的经济学解释

在广告系列（六）- 最优机制里，我们构造了常规问题下买家的一个虚拟估价函数

其中是估价，是虚拟估价，满足正则假设则关于单调递增，并选择分配规则是虚拟估价最高者得，支付规则是二价计费，假设买家i的虚拟估价最高，则获得拍卖品，除买家i以外虚拟估价最高值记为,令

那么此时买家的支付为

,

其中,是买家虚拟估价函数的反函数，我们称该机制是不带保留价的最优机制，此时卖家的期望收入最大化，接下来我们展开讲一下为什么卖家要按照买家的虚拟估价竞价，虚拟估价在经济学中又有什么含义。

假设卖家为一个买家制定了一个价格为的接受-拒绝方案，此时是买家估值小于时的概率，则买家估值大于的概率为，即买家接受方案获得物品的概率，其中是买家估值的累积分布函数，此时把买家接受方案获得物品的概率看做买家的需求数量，可得需求数量与价格的函数关系式如下：

上述是微观经济学中的需求函数：在不同的价格下，买家的需求数量不同，且单调递减，需求曲线斜率为负，它的反函数为：

则卖家的收益函数为

对总收益关于数量q求导，

把

带入后可得边际收益

此时可以发现，边际收益函数式和买家的虚拟估价函数式相同，即买家的虚拟估价是卖家的边际收益，经济学中边际收益是指卖家每增加一单位产品的销售所增加的收益，在一次不可分割的单品拍卖中，当前卖家的收益就是就是边际收益，为获得收益最大化，卖家选择的分配规则是把拍卖品分配给虚拟估价最高者，支付规则选择二价计费是为了减少买家报价的波动性，有利于拍卖系统的稳定。

在现实拍卖中，卖家不一定会把拍卖品卖给虚拟估价最高的买家，只有当最高虚拟估价大于等于卖家对拍卖品的估价时才会出售，这点其实很容易理解：卖家只有在收益大于等于成本时才会发生交易，此时卖家对物品的估价就是成本，这里就引出拍卖的另一个概念：保留价，顾名思义当买家报价小于该价格时卖家保留拍卖品，下节我们展开聊。