三门问题

  三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。这个著名的问题真的是感叹直觉的不可靠和和概率洞察本质的伟大。这类问题一个很重要的前提就是样本空间该怎么样界定，我们初学概率以及像现在这样碰到一些复杂情况，不太容易界定基本事件构成的样本点。因此需要先确定样本空间，再使用概率方法来理解。
  通过著名的贝叶斯定理来解决这个问题。假设有三扇门，分别为D1,D2,D3.来看发生的事件。事件A：假设观众第一次选择的门为D1，后面是🐑或者车 。事件B：假设主持人打开门D2后面是🐑，请注意，主持人事先就知道了门后面是羊还是车。现在我们来看看初始的样本空间。(D1,D2,D3)=(羊,车,羊),(羊,羊,车),(车,羊,羊)。
  现在来分析主持人行动后的概率。 由于主持人知道门后是🐑还是🚕，而且每次她选择打开的都是后面是🐑的那扇门，因此， 对于D1，条件概率P(B|A)表示D1为羊或者车的情况下，主持人打开D2时,其中是羊的概率。由于主持人事先知道了门后的分布，因此。主持人没有开门的时候，D1为羊的概率，,为车的概率为，这是一个先验分布，独立于主持人开门与否。
  主持人开门后，样本空间已经出现变化，这时，我们需要计算的P(A|B)表示主持人开门D2为羊的情况下，D1是羊还是车的概率，这是一个后验分布。利用事件形式的贝叶斯公式：
可以得到，D1为羊的概率为，为车的可能性为，所以果断换门到D3。
  这的确不是那么自明，主要是一个行动就改变了样本空间的样本点，这就是抽象和理论化的力量。对于事件形式的贝叶斯公式，如果从连续形式的公式来理解，将先验分布、似然函数等概念应用，许多时候理解起来要容易一些。
  这个节目后来让观众做了试验，让大家来选择，换还是不换，最后，确实还是换门得到车的概率是不换门的两倍，也印证了理论推导的正确。还可以通过 Monte Carlo 仿真来更方便地实现这个过程。