开普勒猜想：二维矩形平面堆积正圆的最大密度
三维球堆的最大密度为
n维空间开普勒堆积最大密度：
定理1：广义皮克定理 面积的定义和最大填充面积的计算 计算地图上某一地区的面积（比如北京），一般的方法是: 先用直尺在地图上画等大的方格，越细密越精确，然后我们数数落在“北京”范围内的方格有多少个（更聪明的方法是数十字交叉点），然后再乘以每个小方格的面积，最后别忘了乘比例尺的平方，于是就得到北京地区面积的近似值。（以上做法的依据可以查看皮克定理。） 将上面的过程抽像化、符号化，就得到“面积”的定义： 对于区域 可以没有重叠地将
个面积
覆盖，将这
个面积之和记作
,若序列 的上确界存在: S(N)即为区域
的“面积”。 实际上，在测度论中，我们称上面所定义的面积为内测度。 仿造内测度，还可以定义外测度，即是区域
被一系列矩形所覆盖且没有重叠的部分，那么这些矩形面积之和的下确界就是外测度。 而真正的面积的定义是：当区域
的内测度与外测度等于同一数值S 时，S 就是
的测度，也就是面积。 通俗地说，就是我们由从“内”和从“外”两种方法去逼近同一区域，这个过程的极限就是所求的面积。单位面积测度称为广义格点面积测度，n称为面积S(n)的格点数，如若格点面积
则二维平面的面积可用广义皮克定理计算.显而易见，可用两次使用广义皮克定理计算二维平面的开普勒填充密度
定理2：皮克定理推论 1. 面积比等于格点数的比
2.假设面积
格点数相等，格点单元面积不等，则有
定理3：考察开普勒堆积的特点，错位循环，有如下结论：开普勒堆积是三角波的叠加，
开普勒最大填充面积公式2维在3维，n维空间的推广
为面积数，2维等于12，3维等于18，依次类推,......，2维为计算基点，计算0点3维最大填充频率
大于3维公式需乘以修正系数
高维空间的球体是否可以参考三维的对称性的填充方法，自然推广出去呢？结果完全不行，目前对3维以上的球体填充问题，人们只得到一些填充密度的下限和上限，没有完全能确定的，但是除去两个维度：8维和24维。8维和24维空间的最佳填充方案已经找到了。横轴：维度；纵轴：log(填充密度)。红线：已知下限；绿线：已知上限；蓝线：已知最佳填充。
相对于基波sinx,正弦波的维度数n等于它的角频率 ，堆积数1对应线长
，计算开普勒堆积密度x，应采用弧度制.三角波通过傅立叶变换以后的基波就是对应频率的正弦波.开普勒堆积可用相应的正弦波代替三角波.
维度越大，密度越小.数学工作者计算8维约是3.6%，24维只有0.005%左右.
二维开普勒堆叠为三维开普勒,除维度不同，仍是波动堆叠，公式形式相同，维度数修正.
二维开普勒正弦波堆叠
最大密度x
x=sinx
x为开普勒填充最大密度。.
对公式的直观解释：1.二维开普勒正弦波堆叠至三维方向旋转 ，三维堆积表现为余弦波填充
设最大密度为x,余弦波cosx填满x，x/cosx=1,显然x取角度制，解之，得x=0.739085
较好理解的表述为最大密度x
x=cosx
x为开普勒解.
2.开普勒堆积的维度修正系数：XY平面的Z向堆积不变，仍是2维平面堆积； 2
，2维平面堆积特征值，
,3维堆积特征值，依此可以换算2维，3维的开普勒堆积密度.堆积平面最小尺度
，单位度量待填充面积 ，单位度量最大填充面积 ，最大填充密度 ,
正弦波平面堆积，在XY平面上 为一个线性不变“平面”维度，单位度量最大填充面积
2维堆积平面最小尺度 ，2维到3维增加1个维度，填充单位度量随之增加1维，二者成正比例，实际开普勒填充过程中，每 完成一个线性开普勒填充，开普勒堆积的特点使得堆积面线性最长为 ，单位度量增加比例 ,无论待填充面积如何增加，根据定理2，均可以单位度量表示，开普勒堆积维度量从基准平面的12开始，每增加1维，相应增加1/n,
2维 12
3维 18
4维
......
验算数学工作者计算8维约是3.6%，误差不大
三维开普勒堆积密度x, x=cosx,求解x
方法1：因为cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!...
为一无限项有理系数多项式的根,故无法表示（超越数）
所以只能近似求得
方法2：牛顿迭代法:
令f(x)=cosx-x=0
f'(x)=-sinx-1
先令x=1
x=1-(cos1-1)/(-sin1-1)=0.750363867843
第二次迭代：
x=0.750363867843-(cos0.750363867843-0.750363867843)/(-sin0.750363867843-1)
...
经多次迭代,得x=0.739085133216,误差小于1e-10
方法二：
角度：0.99984774153108811295981076867980
弧度：0.73908513321516064165531208767387
0.74（三维开普勒堆积最大密度）
梯度：0.99987666291073963586174574244615（堆积体直径趋于0时最大堆积密度）
公式适用n维开普勒解，n维空间成立证明：
结论：三角波矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交 的三角波矢量组成一个n维堆积，开普勒n维猜想成立.综合以上可证明开普勒猜想的通解公式：
假设x为开普勒最大堆积密度，则有：
1维
x=sinx,
解法1：可设函数 f(x)＝sinx - x ,则 f'(x)＝cosx - 1 [ f'(x) 表示求导],
因 cosx≤1,所以 f'(x)≤0,那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减,其图像与 x轴仅有一个交点,故 方程 sinx - x＝0 （即 sinx＝x）只有一个实根 x＝0.
[注：虽然 f(x) 不是“严格单减”,但其驻点 ---- 即 x＝2kπ,k∈Z ---- 都是离散的,所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值,当然也就不可能在 x＝0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0.]
解法2：（反证法）
设方程 sinx - x＝0 至少有两个根,且相邻的两根为 x1,x2（不妨设 x1＜x2）,由于 f(x)＝sinx - x 是连续可导函数,那么在 (x1,x2) 内必有一个极值点 x3,因此在区域 (x1,x3) 或 (x3,x2) 必存在“单调递增”区域,这与 f'(x)＝cosx - 1≤0 矛盾,所以 方程 sinx - x＝0 仅有一个实根 x=0
2维
x=sin(x/2)
3维
x=sin（x/3）
4维
x=sin(x/4)
...... ......
n维
x=sin(x/n)
推广到分数维度空间
1/2 维
x=sin(2x)
1/3维
x=sin（3x）
1/4维
x=sin(4x)
...... ......
1/n维
x=sin(nx)
y=x/sinx,y=1时，x为最大填充密度。
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数论 开普勒猜想
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