下图为待填色地图
它等效于下图的随机分布
容易证明它与下图等价
平面上圆的六角密堆积
1910年阿克塞尔·图提供了一个非常简洁的但是意义深远的关于六角密堆积的证明。
下图（左） 平面上随机分布的小圆，（中） 近邻三小圆及其相互间的垂直平分线，（右） 从垂直平分线的节点处向三小圆作切线，每个圆的两条切线在节点处张开一个相等的顶角
作为出发点，考虑图4左图中在平面内随机分布的诸多小圆，设想你往桌子上撒一把大小相同的豆豆，你就能得到这样的小圆在平面上的分布。作任何一个小圆同近邻小圆之圆心连线的垂直平分线，会得到图4左图中的连线结构—每一个小圆都被一个凸多边形包围（一般为六边形。你如果没见过这样的图案，可以去观察干涸的河底泥巴断裂图案，或者去观察许多植物的叶脉。再强调一句，大自然遵从数学和物理的规则）。观察第2步得到的连线结构，会注意到从每个连线节点发出的线段都是三条。考察每三个相邻小圆的连线问题，如果这三个小圆碰巧在一条直线上，则两两连线的垂直平分线是平行的。这样的三小圆构型不对理解二维的空间铺排问题有贡献，放过不管。看一般的情形（图4中图）， 近邻三小圆的三根两两之间连线的垂直平分线交于三小圆所张成之三角形内部的某个位置。从垂直平分线的节点向三小圆作切线，共六条，容易证明每个圆的两条切线在节点处所张的顶角相等（图4右图），记为θ。但是，在平面内，3θ ≤ 360°，也即θ 的最大值为120°，这种情形对应的就是图1中圆的排列方式，故六角密排是最致密的排列方式。
下图为地图的填色路径
依照阿克塞尔·图的证明容易得到它与平面上圆的六角密堆积等价
平面堆积单元数为4
建立上图所示的坐标系，4个群元可描述整个空间
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