在本章的学习中，我们主要探索的是线与线之间的关系，那么在探索这一章的内容之前，我们用点线面之间的关系作为基础，因为点线面就是基本的几何图形，这不光是对于这一章的浪漫，可能对于初中和高中的整个几何都是很重要的。
那么首先就是点和点之间的关系，比如任意的两个点，有几种不同的位置关系呢？有两种，第一种就是两个点是分开的，也就是不重合的，而另外一种就是重合在一起的，这样的点事上不能说是两个点，所以这种情况我们不再考虑。那么第一种，两个点不重合的位置关系又是怎样的呢？我们想象一下，这两个点一定是在一条直线上的，而他也一定是在同一个平面里的。
那么三个点又有怎样的位置关系呢？三个点重合的情况不考虑在内，所以三个点事实上有两种情况重合除外，第一种就是三个点，在同一条直线上，这样的位置关系，我们可以叫他三点共线，而另外一种就是三个点，不在一条直线上，像这样的位置关系也就叫做三点不共线，而以上的两种情况都是三点在同一平面内的，因为三个点必定会在同一平面内。
那么任意的两条直线又会有几种不同的位置关系呢？有两种，一种就是香蕉，第二种是不香蕉，而不相交的两条直线，也就是平行线那么，哪些位置关系是比较特殊的呢？我认为在香蕉里面有一种情况会比较特殊，那就是当一条直线与另外一条直线相交时，这两条线所形成的四个角都相等，我们称这两条线垂直。
那么任意的两个平面又有几种不同的位置关系呢？除了重合之外，有两种位置关系，第一种位置关系就是这两个平面相交，因为平面是无线的，所以这两个平面会有交线，也就是这两个平面相交的地方是一条直线。而另外一种情况就是两个平面不相交，也可以说是平行。
这也就是点与点，线与线，面与面之间的位置关系。
那么接下来我们需要定义相交与平行以及垂直。
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，相交和平行（重合除外）
那么，首先我们如何定义两条直线是相交线呢？相交线的定义就是，两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，而这两条直线为相交线。而平行线的定义就是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
而在相交直线中，有一种特殊的位置关系，也就是我们刚刚说过的垂直。那么过一点可以作多少条直线与已知直线垂直呢？如果不是在同一个平面内的话，会有无数条，而在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。那么，直线外一点与直线的距离又是什么呢？当我们连接直线外一点与已知直线上的各点的所有线段中，我们可以发现，垂直于这条直线的这个线段最短，这样的线，我们就叫他垂线段，垂线段就是从直线Y一点与一条直线的垂线，这个点和垂足之间的线段叫做垂线段。连接直线外一点，与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，我们也可以把这个，简述为垂线段最短，比如三角形中，这条垂线段就相当于三角形的高。
当我们知道了相交线与平行线的定义之后，接下来我们就要探索的就是见与见之间的关系，那么首先我们要先将几条直线相交所形成的一些角命名。
当两个直线相交的时候，会形成四个角，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，就这样位置关系的两个角就互为对顶角。
对顶角
就如上图中的角一和角二，而对顶角的性质就是他们的角度相等。
当两条直线相交，只有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，就这样位置关系的角互为邻补角。
就如图中的角三和角四，邻补角的性质就是邻补角互补，也就是他们的角度相加等于180度。而在相交线中，一个角的邻补角会有两个。
在上面这个图中，两条直线被第三条直线所截，像这样的我们称它为三线八角（为了方便，后面的一些证明题也会用这个图）。
在两条直线被第三条直线所形成的角中，这两个角都在两直线的同侧，并且第三条直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角，就比如途中的角三和角四。若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的两旁，那么我们称具有这样位置关系的一对角为内错角。就如上图中的角四和角五。如果两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同行，那么具有这种位置关系的一对角我们称它为同旁内角，就如上图中的角一和角四。
现在已经知道了平行线的定义，我们现在该如何判断两条直线是否平行呢？刚才我们对平行线的定义是，在同一平面内，不相交的两条直线，如果我们现在想要判断两条直线是否平行的时候，我们需要将两条直线无限延长，这样才可以确保直线上是否有交点，但是显然这个方法在有限的世界里是无法完成的，那么我们又是否能用角的关系判定两直线平行呢？
那么接下来我们将要探索平行线的判定，以及平行线的性质。
如果想要借助一个三角板和一把直尺，过直线外一点画一条直线与已知直线平行，有很多种方法。如图，我们已知直线L，现在要过点M做直线L与已知直线平行，首先我们把三角板到一个边和已知直线对齐，整体沿着一个直线方向移动，那么我们就需要一个直尺来固定，然后让三角板顺着咫尺的方向向定M平移。
在上面的两个图的平移过程中，为了确保两条直线平行，我们发现有两个角必须相等，那就是图一中的角三和角四相等，图二中的角一和角二相等。这些角的大小始终不变，对于我们判定两条直线平行会有什么启示吗？
我们发现角一和角二，角三和角四，都是同位角，那么我们是否能用同位角相等，来判定两直线平行呢？这个我们是无法证明的，但是因为大家都相信，所以这是不证自明，也就是公理，但是为了方便，我们还是把它叫做平行线判定定理1。
接下来我们就可以借助已有的观念，去探索更多。
在这个图里面，我们猜想，角1等于角8，角5等于角4（内错角相等）这样可能也能判定两条直线平行，而这个我们就可以借助同位角相等，两直线平行来证明。
在上图的推理中，我们发现每一步之间都是有很严谨的逻辑关系的，所以内错角相等，两直线平行是我们用严谨的数学逻辑推出来的，像这样可以证明的，我们把它称作为定理， 而内错角相等两直线平行就是平行线判定定理2。
那么在图中的三线八角中，我猜想若角一与角四互补（同旁内角），也能判定两直线平行。
在上图的证明过程中，我们是可以用两个证明方法的，因为我们前面已经证明了内错角相等，两直线平行，和同位角相等，两直线平行，所以我们可以根据这两个判定定理，来证明同旁内角互补两直线平行。而这也被称为平行线判定定理三。
现在平行线的判定是我们已知角的关系，然后去证明两条直线平行，那么我们是否能逆过来呢？也就是，已知两直线平行，去证明角的关系。
那么我猜想应该是可以的。
在这个图形中，我们已经知道了A平行于B，被C所截，而当我们实际测量一下，就会发现，刚刚的猜想好像与结果是符合的，那么我们接下来将严格去证明这些猜想。
角一和角五为同位角，在表格上显示，他们的度数一样，但是，现在还无法用严格的数学逻辑去证明，所以我们依然把它当作公理，也就是不正自明的。而两直线平行，同位角相等就被称为平行线的性质定理一。
那么接下来，我又猜想， 两直线平行内错角相等，而在上图中，我们发现角四和角五是相等的，角三和角六也是相等的，那么接下来我们将用严格的数学推理逻辑来证明。
根据平行线的性质一，我们可以证明，两直线平行，内错角相等，而每一步中都是有严谨的逻辑的，所以这个也被称为定理，也就是平行线的性质定理二。
接下来我猜想，两直线平行，角四和角六互补。
在上图的证明过程中，我们发现，每一步和每一步之间，也是有严谨的逻辑的，而这两个证明过程，分别适用前两个已知推出来的。而两直线平行，同旁内角互补，就被称为平行线的性质定理三。
现在我们已经通过证明，得到了平行线的判定定理，和平行线的性质定理。那么我们是否能用这些定理去证一些其他的定理呢？
却证明带有平行的两条边的图形，比如平行四边形，平行四边形的定义是，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
我猜想在上图中，角B +角C等于180度，角B等于角D。
那么上面这个证明过程与我们的猜想是相符的，所以我们就知道了一个关于平行四边形的定理。平行四边形的对角相等。
那么根据平行四边形的定理，我们可以知道他的两组对边是平行的，那么在根据我们之前证明过的平行线的性质定理三，我们可以知道，在三线八角中，同旁内角是互补的，所以平行四边形的邻角也互补。
那么我们就能猜想，并推理证明出哪些，关于三角形相关的结论呢？
这小学的时候我们经常说三角形的内角和是180度，那我们又该如何证明呢？
这个途中的证明过程，就是我想到的第一种方法，当然还有很多种方法。如下图
这是第二种方法
以上就是这章的内容。
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