对数表

纳皮尔发明对数之后，包括纳皮尔在内的数学家们便开始着手编制对数表，将费神费力的乘除运算简化为嗖嗖查表的动作。

所谓对数表，其实就是以某个数字为底，把一定范围内（比如1~10000）所有整数的对数值预先算好，列成表格，印刷成册，像查字典一样使用。

1000~1500的常用对数表（常用对数即以10为底的对数）（图片来自维基「Common logarithm」词条）

为了能用上这张对数表，让我们取两个乘积能落在1000~1500范围内的数字，比如：
$16 × 64 = 1024$

根据对数的换算公式：
$log_a(MN) = log_aM + log_aN$

有：
$lg(16×64) = lg16 + lg64$

我们不妨掏出手机算一下16和64的常用对数值：
$lg16 ≈ 1.20412$

$lg64 ≈ 1.80618$

400年前当然没有手机，连电子计算器都没有，这两个数字是在对数表上查到的。

求和：
$lg16 + lg64 ≈ 1.20412 + 1.80618 = 2.01030$

查表可知，2.01030对应的是1024（我已在上图中圈出），即16×64的结果。

以上简单模拟了那个年代对数表的查表过程，在16×64的小量级下，你许会觉得多此一举，但当数字的位数一多，对数表就可以大大减少枯燥易错的计算了。

对数尺

虽然对数表实现了计算降维，但查阅起来毕竟眼花缭乱，厚厚的书册也不便携带。不多久，一位叫甘特的英国数学家想到：既然对数表是把两个数的求积问题转换为两个对数的求和，那么，如果把一个对数视为一段可以用直尺丈量的长度，对数之和不就可以利用直尺直接量出来了吗？

埃德蒙·甘特（Edmund Gunter 1581-1626），英国牧师、数学家、几何学家、天文学家。（图片来自佳士得）

1620年，甘特将对数表刻到一把尺上，借助圆规一类的辅助工具，实现了这种想法。仍以 16×64为例，先将圆规两脚分别指向lg1和lg16的位置，此时圆规脚的跨度代表着lg16的值，而后保持圆规张角不变，平移使其左脚指向乘数64的位置，此时右脚所指便是计算结果。

尺上各个数字之间一般都会有连续的刻度，这里偷懒只画出了关键刻度。

计算尺

威廉·奥特雷德（William Oughtred 1574-1660），英国数学家、牧师。（图片来自维基「Slide rule」词条，下同。）

1622年，另一位英国数学家威廉·奥特雷德觉得圆规有点累赘，不如直接将两把对数尺并排放置，通过相对滑动就可以实现尺上示数的相加，形成了计算尺的雏形。

2 × 3 = 6，对数尺本身可以代替圆规一类的辅助工具

顺带提一下，尺上的刻度范围总归是有限的，例如上图两尺的取值范围为1~10，2×5还能读出来，2×6就歇菜了。针对这种情况，需要先把上面的尺子左移，使其最右侧的刻度与下面尺子的刻度2（被乘数）重合，相当于除以了10。

而后读取上尺6（乘数）所对应的下尺刻度1.2，10倍还回去，即12。

有趣的是，计算尺将乘除简化为加减，本身却无法进行加减运算，对此最粗暴的解决方案居然是把加减「复杂化」为乘除：
$x + y = (\frac{x}{y} + 1)y$

$x - y = (\frac{x}{y} - 1)y$

墙都不扶就服你……

滑尺计算的思想诞生之后，出现了各式各样通用和专用的计算尺，最常见的形式是：中间一把可滑动的尺，称为滑尺；上下两把固定的尺，称为定尺；滑尺和定尺上都标着至少两排不同含义的刻度线，滑尺与定尺不同的刻度吻合代表不同运算（乘除运算、求根求幂、指数对数、三角函数等等）的结果。

图片来自网络

兴盛

一拉一抽，天机我有。不料如此强大而便捷的工具，却过了整整两个世纪才流行开来。

直到1850年，英国数学家德·摩根（Augustus De Morgan）^[1]还在为计算尺的冷遇扼腕叹息：

For a few shillings, most persons might put into their pockets some hundred times as much power of calculation as they have in their heads.
只需区区几先令，多数人就能把这种比他们自己的头脑强数百倍的计算工具纳入囊中（可他们就是不愿意）。

好巧不巧，就在同一年，一位年仅19岁的法国炮兵中尉曼海姆给计算尺加上了一个透明游标，仅仅是为了方便读数，结果这一设计被沿用下来，固定了计算尺的最终模样。此后，计算尺便在欧洲迅速走红，而曼海姆也幸运地被历史铭记为现代计算尺之父。