矩阵如同线性变换

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“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法，它接收输入内容，并输出对应结果；特别地，在线性代数的情况下，我们考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换，既然“变换”和“函数”意义相同，为什么还要使用前者而不是后者？使用“变换”是在暗示以特定方式（运动）来可视化这一输入-输出关系，一种理解“向量的函数”的方法是使用运动，

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如果一个变换接收一个向量并输出一个向量，我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置；接下来，要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置，因为将向量看做箭头时，同事考虑所有的二维向量会变得非常拥挤，所以将每一个向量看作它的终点，而不是一个箭头，用这种方法考虑所有输入向量都移动到对应输出向量的位置时，我们只用看空间中的所有点移动到其他点的位置；

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二维空间变换这种情况下，为了更好地体现整个空间形状上的改变，可以对无限网格上的所有点同时做变换，在背景中保留原始网格的副本，以便追踪终点和和起点的相对关系。

线性变换

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各种各样对空间的变换所产生的效果是很美妙的，有挤压的、有变形的，任意一个变换可以非常复杂；但幸运的是，线性代数限制在一种特殊类型的变换上，这种变换更容易理解，成为“线性变换”，直观地说，如果一个变换具有以下性质，我们就称它是线性的：

直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲；
原点必须保持固定；
总的来说，你应该把线性变换看做是“保持网格线平行并等距分布”的变换；

如何用数值描述线性变换

事实上，你只需要记录两个基向量，也就是i帽和j帽落脚（变换后）的位置，其他向量都会随之而动，

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比如在空间变换前，有这么个向量 $\vec{v} = -1\hat{i} + 2\hat{j}$

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在经历线性变换后，由于线性变换是保持网格线平行并等距分布的变换，所以变换后 $\vec{v} = -1\hat{i} + 2\hat{j}$ 依然成立，换句话说，向量 $\vec{v}$ 是i帽和j帽的一个特定线性组合，那么变换后的向量 $\vec{v}$ 也是变换后i帽和j帽的同样的线性组合；这意味着，你可以只根据i帽和j帽的落脚点，就能推断出向量 $\vec{v}$ 的落脚点；

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所以更一般的来说，只要我们记录了i帽和j帽的落脚点，我们就可以推断出任意向量的落脚点，完全不必观察变换本身是什么样；一般情况下，一个向量的坐标是 (x, y) ，它的落脚点就是x乘以i帽的落脚点 (1, -2) 加上y乘以j帽的落脚点 (3, 0) ，这与“缩放基向量再相加”的思想一致；

矩阵

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以上这些内容是在说，一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标，通常我们将这些坐标包装在一个 2 × 2的格子中，称它为 2 × 2 矩阵；

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更一般的情况下，我们来看看矩阵是 [[a, b], [c, d]] 时会发生什么？记住，矩阵在这里只是一个记号，它含有描述一个线性变换的信息，把第一列 (a, c) 看作是第一个基向量的落脚点，第二列 (b, d) 看作是第二个基向量的落脚点，我们把这个变换作用于向量 (x, y) ，结果是什么？那就应该是x乘以 (a, c) 加上y乘以 (b, d) ，合并之后得到向量 ( ax + by, cx + dy) ，你甚至可以把它定义为矩阵向量乘法，这里矩阵放在向量左边，类似一个函数；

这里我们完全把矩阵的列看作变换后的基向量，把矩阵向量乘法看做一个线性组合！

总结

总之，线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行并等距分布，并且保持原点不动，这种变换只需要几个数字就能描述清楚，这些数字就是基向量变换后的坐标，以这些坐标为列所构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换语言，而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径；这里重要的一点是，每当你看到一个矩阵时，你都把它解读为对空间的一种特定变换；一旦真正消化了这些内容，你就在深刻理解线性代数上占据了极佳的位置，当你将矩阵看作空间的变换之后，此后几乎所有的主题：矩阵乘法、行列式、基变换、特征值等都会更加容易理解。