生产函数

生产要素：

指生产过程中所使用的各种资源。具体划分为四类：劳动、资本、土地和企业家才能。

• 劳动 L：是劳动者说提供的服务，它包括体力劳动和脑力劳动。
• 资本 K：资本品或投资品，如厂房、机器设备、动力燃料、原材料等。
• 土地 N：指土地以及地上和低下的一切自然资源，如森林、江河湖泊、海洋和矿藏等。
• 企业家才能 E：指企业家组织建立和经营管理企业的才能。

生产函数：

指一定时期类，在技术水平不变的情况下，厂商生产过程中所使用的各种要素的数量与它们所能生产出来的最大产量之间的函数关系。
生产函数可表示为：Q = ∫ ( L, K, N, E )，一般简化为：Q = ∫ ( L, K ) 。

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短期生产函数

短期生产函数：

在此期间内，至少有一种投入的数量不变而其他投入的数量可以变动，即一种可变生产要素的生产函数。

短期生产函数的形式：

假定资本投入量固定，劳动投入量可变，则

劳动的总产量：

与一定可变要素劳动的投入量相对应的最大产量，

劳动的平均产量：

平均每单位可变要素劳动的投入量所产生的产量，

劳动的边际产量：

增加一单位可变要素劳动投入量所增加的产量，

特征：

• 1、TP、AP、MP 曲线都经历了先增后减的过程，并且分别有极大值；
• 2、MP 与 TP 之间的关系： MP > 0，TP ↑；MP > 0，TP ↑；MP = 0，TP 最大；MP < 0，TP ↓（ MP 曲线上最高点和 0 值点对应 TP 去希腊的拐点和极值点 ）；
• 3、AP 与 TP 曲线：AP 曲线是 TP 曲线上的点与原点连线斜率的值的轨迹；在 AP 曲线的最高点，是 TP 曲线上的点与原点连线的斜率的最大值；
• 4、AP 与 MP 曲线：MP 与 AP 之间的关系：当 MP > AP 时，AP ↑；当 MP < AP 时，AP ↓；当 MP = AP 时，AP 最高，MP 曲线与 AP 曲线相交。

例：生产函数普遍使用的 S 形曲线方程为 TP = aL³ + bL² + cL ( a < 0, b > 0 )

边际报酬（产出、产量）递减规律：

在一定的技术条件下，若其他投入要素不变，连续不断增加某一变动投入要素，随着该投入要素的增加，开始时边际产量递增的，但是当投入要素增加到某一特定值之后，再增加投入这种要素，边际产量就会出现递减。
原因：可变要素与不变要素，存在一个最佳配合比例。
开始：可变要素较少，随着投入量渐增，越来越接近最佳配合比例，边际产量呈递增趋势。
之后：可变要素过多，超过最佳配合比例，边际产量递减。

例证：隐性失业

第一阶段：AP 递增，生产规模效益的表现；
第二阶段：AP 递减，MP > 0，总产出增速放慢；
第三阶段：MP < 0，总产出绝对下降。

• 第一阶段和第三阶段：技术上不合理，经济上不划算；
• 第二阶段：可变投入的合理投入区间。

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长期生产函数

长期生产函数：

在此期间内，一切投入的数量都可以变动，即两种可变生产要素的生产函数。

等产量线：

在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合轨迹。

等产量线

等产量线的特征：

• 1、在同一平面上可以有无数条等产量线；
• 2、等产量线不能相交；
• 3、等产量线是一条向右下方倾斜、凸向原点的线。

边际技术替代率（MRTS）：

在维持产量水平不变的条件下，增加 1 单位的某种要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量。

• 劳动对资本的边际技术替代率为：MRTS_LK = -ΔK/ΔL
• 资本对劳动的边际技术替代率为：
  MRTS_KL = 1 / MRTS_LK =

边际技术替代率递减规律：

当维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加是，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。

两种特殊的等产量线：直线型和直角型

1、直线型等产量线：

技术不变，两种要素之间可以完全替代，且替代比例为参数，等量产量曲线为一条直线。

相同产量，企业可以只投入资本，如点 A；或只投入劳动，如点 C；或两者按特定比例的任意组合，如点 B 其对应的生产函数是固定替代比例的生产函数，即 Q = aL + bK

2、直线型等产量线：

技术不变，两种要素只能采用一种固定比例进行生产；不能互相替代。

顶点 A、B、C 点代表最优组合点；如果资本固定在 K₁ 上，无论 L 如何增加，产量也不会变化。
其对应的生产函数是固定投入比例的生产函数（里昂惕夫生产函数），即 Q = Min( L / u, K / v )
u 为固定的劳动生产系数（单位产量配备的劳动数）；
v 为固定的资本生产系数（单位产量配备的资本数）
单独增加某一种生产要素的边际产量为 0。

例：柯布—道格拉斯生产函数：

L — 劳动，K — 资本，A — 技术水平，α，β — 参数；
A > 0，0 < α < 1，0 < β < 1。
若 α + β = 1，该函数为线性齐次函数。

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等成本线及最优的生产要素组合

等成本线：

表示所需成本相等的两种要素投入量的全部组合方式的曲线。

假定劳动的价格为 P_L，资本的价格为 P_K，厂商既定的成本支出为 C，则
成本方程为：C = P_LL + P_KK
等成本线的斜率：P_L / P_K

关于既定成本条件下的产量最大化

在有 n 中投入时，产出最大化条件为：

证明：

关于既定产量条件下的成本最小化

在有 n 种投入是，成本最小化条件为：

证明：

扩展线（expansion path）

表示在生产要素价格和其他条件不变情况下，随着厂商成本的增加，等成本线向右上方平行移动，不同的等成本线与不同的等产量线相切，形成不同的生产要素最适组合点，将这些点连接在一起所形成的轨迹。

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规模报酬

规模报酬：

是指在技术水平和要素价格保持不变条件下，所有投入要素按同一比例变动所引起的产量的相对变动。

规模报酬递增：

产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。等产量线越来越密。

规模报酬恒定：

产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。等产量线分布均匀。

规模报酬递减：

产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例。等产量线越来越稀。

规模报酬的一般变化规律：

• （1）最初的小规模企业，面临规模报酬递增阶段；
• （2）随着企业的扩大，保持规模报酬不变阶段；
• （3）企业若继续扩大，将面临规模报酬递减阶段。

柯布-达格拉斯生产函数的规模报酬：

若 α + β > 1，规模报酬递增，就是规模报酬递增，就是产量增加的比例大于生产要素的投入增加的比例；
若 α + β = 1，规模报酬不变，就是规模报酬递增，就是产量增加的比例等于生产要素的投入增加的比例；
若 α + β < 1，规模报酬递减，就是规模报酬递增，就是产量增加的比例小于生产要素的投入增加的比例。

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短期成本曲线

短期成本函数：

在某些要素投入量不能随产量调整的时期内，厂商的成本与产量之间的关系。

• 总成本（TC）：生产一定数量的商品，所支付的可变成本与固定成本的总和。TC = TFC + TVC
• 总固定（不变）成本（TFC）：Total Fixed Cost，与产量无关
• 总可变成本（TVC）：Total Variable Cost，与产量有关
• 平均固定（不变）成本（AFC / Average Fixed Cost）：AFC = TFC / Q
• 平均可变成本（AVC / Average Variable Cost）：AVC = TVC（Q） / Q
• 平均成本（ATC / Average Total Cost）：ATC = TC（Q） / Q = AFC + AVC

• 边际成本（MC / Marginal Cost）：MC = ΔTC / ΔQ 或 MC = dTC / dQ

  
  

几条曲线特征：

• 1、TFC 是一条水平线，固定不变；
• 2、TC 与 TVC 的斜率先减后增，在相同的产量上，切线的斜率相等，并且两条曲线的垂直距离保持不变；
• 3、AFC 呈递减趋势，AC、AVC、MC 均呈 U 形特征；
• 4、MC 先后经过 AVC 和 AC 的最低点，在 AVC 达到最低以前，MC 小于 AVC；AVC达到最小时，与 MC 相交；在 AVC 达到最低以后，MC 大于 AVC；在 AC 达到最低以前，MC 小于 AC；AC 达到最小时，与 MC 相交；在 AC 达到最低以后，MC 大于 AC；
• 5、过原点与 TC 和 TVC 的切线的切点分别对应 AC 和 AVC 的最低点。

边际报酬递减规律（边际成本递增规律）：

边际成本 MC 和边际产出 MP_L 的变动方向相反。
MC = P_L / MP_L

短期成本曲线与产量曲线的关系：

• 1、TP_L 的斜率先增后减，TC 和 TVC 的斜率先减后增，并且当 TP 出现拐点时（MP_L 的 _max），TC 和 TVC 也出现拐点（MC 的 _min）
• 2、AP_L 和 AVC 的变动方向相反，当 AP_L 递减（增），AVC 递增（减）时，当 AP_L 达到最高点是，AVC 达到最低点时；当 MP_L 与 AP_L 交于 AP_L 最高点时，MC 与 AVC 交于 AVC 最低点；（AVC = P_L / AP_L）
• 3、MC 和 MP_L 的变动方向相反，当 MP_L 递增/减时，MC 递减/增。（MC = P_L / MP_L）
• 4、厂商生产的合理阶段：从 AP_L = MP_L 到 MP = 0 的阶段；MC > AVC 的阶段。
  

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长期成本曲线

长期成本曲线（LTC曲线）：

表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小生产成本。
该曲线是所有短期总成本曲线的包络曲线。

长期平均成本 LAC

LAC 曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小平均成本。
该曲线是所有短期平均成本曲线的包络曲线。

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长期成本曲线与短期成本曲线

短期成本曲线的 U 形状是由于边际报酬递减规律的作用。
长期成本曲线的 U 形状是由于规模报酬递减规律的作用。

• 原因：规模经济和规模不经济（也叫内在经济和内在不经济）的变化规律。
• 规模经济（规模报酬递增）：厂商生产的开始阶段，随着生产的扩大，经济效益提高，成本下降。企业在扩大规模时，总产量的增加幅度大于总成本的增加幅度，即长期平均总成本下降。
• 规模不经济（规模报酬递减）：生产扩大到一定规模后，经济效益开始下降，成本上升。

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长期边际成本曲线（LMC）

LMC 曲线是长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小平均成本对应的 SMC 曲线上的点的包络曲线。
LMC > LAC，则 LAC 递增；
LMC < LAC，则 LAC 递减；
LMC = LAC，此时 LAC 最小。