一个有理不定方程问题

作者: 计网从入门到放弃 | 来源:发表于2018-08-29 11:27 被阅读0次

今天的题目如下：

来自App“爱数学爱打卡”.jpeg
首先可以看出来

x=y

和

x=4, y=2

是两组解，但是应该不止这么多吧。这个形式虽然很优雅对称，但是实际上太不好处理了，我们变换一下形式。

问题转化

令 $k = \frac{x}{y}$ ，则原方程化为：
$ky = y^k$
且依然是寻找正有理数解。
这就好办多了，为啥呢，因为给定 $k$ ，若 $k$ 为1，则 $y$ 可取任意有理数，若 $k$ 不为1，则 $y$ 的正数解为：
$y = k^{\frac{1}{k-1}}$
因此我们只需要探讨 $k$ 取哪些不为1的正有理数时，y也为有理数。

问题解决

设:
$k = \frac{q+p}{q}, (p,q)=1, q+p,q \in Z^+, p \ne 0$
则：
$y = (\frac{q+p}{q})^{\frac{q}{p}}$
显然， $y$ 的分子分母都要是某个整数的 $|p|$ 次方才行。设：
$q+p=r^p$
$q=l^p$

$p$ 为正数

当 $p$ 为正数时， $r>=l+1$ ，因此：
$p = q+p - q = r^p - l^p = (r-l)(r^{p-1}+r^{p-2}l+......+l^{p-1}) \geq pl^{p-1} \geq p$
夹逼的形式表明：
$p = pl^{p-1}$
因此 $l=1$ 或 $p=1$ 。若 $l=1$ ，则 $q=1$ 。因此 $p,q$ 至少有一个为1。
若 $p$ 为1，则：
$y = (\frac{q+1}{q})^q$ ，是一族正有理数解。
若 $q$ 为1，则：
$y = (p+1)^{\frac{1}{p}}$
显然只有 $p$ 等于1时才是有理数，此时回到了 $p$ 为1的情况。