R统计学(02): 几何分布

通过上一篇博客的学习，我们知道二项分布X~B(n, p)只由试验次数n和"成功"概率p决定。这篇博客将介绍另一个离散分布：几何分布(Geometric distribution)，它只由"成功"概率p决定，记为X~G(p)。

1. 定义

同二项分布一样，几何分布也基于伯努利试验，其自变量的定义有下面两种形式：

• 在伯努利试验中，得到首次成功所需要的试验次数k，k的取值范围为{ 1, 2, 3, ... }

• 在得到首次成功之前所经历的失败次数k，k的取值范围为{ 0, 1, 2, 3, ... }

具体用哪一种，取决于惯例和使用方便。为了避免歧义，最好明确说明自变量的取值范围。

由于R中相关函数都采用第二种形式，因此下面将以第二种形式为例（即自变量定义为首次成功之前所经历的失败次数）。

2. 概率分布

假设伯努利试验的成功概率为p，则失败概率为q=1-p。那么首次成功之前经历k次失败的概率为

其中k=0, 1, 2, 3, ....

3. 性质

对于这种形式的几何分布，它的均值和方差分别为：

具体推导过程可参考https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution。

4. R中的相关函数

类似于二项分布，R中也有四个函数可用于几何分布，分别是：

• dgeom(x, prob)：返回首次成功之前经历了x次失败的概率

• pgeom(q, prob)：返回累积概率

• qgeom(p, prob)：返回相应分位点x，详情见下面的例子

• rgeom(n, prob)：返回每组试验经历失败的次数

这四个函数都有prob参数，对应于伯努利试验的成功概率p。下面通过一个例子来了解如何使用它们：

假设不停地掷骰子，直到得到点数6。投掷失败的次数k是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 0, 1, 2, 3, ... }，并且是一个p=1/6的几何分布。

首先来看k=0到k=20的概率分布图：

可以看到，几何分布是个长尾分布

绘制上图的R代码：

> p <- 1/6   ##成功概率

> px <- dgeom(0:20, p)
> barplot(px,
+         names=0:20,
+         xlab='首次成功之前失败的次数',
+         ylab='P(x)',
+         col='purple')

然后看一下k=0到k=20的累积概率分布图：

绘制上图的R代码：

> fx <- pgeom(0:20, p)
> barplot(fx,
+         names=0:20,
+         xlab='首次成功之前失败的次数',
+         ylab='F(x)',
+         col='purple')

其次，有时想知道，90%概率下我们至多要失败多少次就会成功？(即求F(x)≥0.9对应的最小x值)

> p <- 1/6
> qgeom(0.9, p)
[1] 12

计算结果显示，90%概率下我们至多要失败12次就会成功

最后，重复10000组，每组成功前要失败多少次呢？

> set.seed(12)   ##设置随机数种子，使下面随机结果可重复
> p <- 1/6    ##成功概率
> n <- 10000  ##试验组数

> ns <- rgeom(n, p)   ##每组失败的次数
 
> mean(ns)  ##失败次数的平均值
[1] 5.0812
> (1-p)/p   ##几何分布的失败次数的期望值
[1] 5

> var(ns)   ##失败次数的方差  
[1] 30.9565
> (1-p)/p^2   ##几何分布的失败次数的方差
[1] 30

计算结果显示，当组数足够大，每组失败次数的平均值和方差与理论值很接近。

几何分布的介绍就到此结束，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持本公众号。

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