余弦相似度和欧几里得距离

1.余弦相似度

同过两个向量的夹角的余弦值来判断两个向量的相似度。
余弦值取值[-1,1],越接近1，两向量夹角越小，越相似。

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二维公式：

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n维公式：
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存在的问题^[1]：

余弦相似度更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感。
比如用户对内容评分，5分制。A和B两个用户对两个商品的评分分别为A：(1,2)和B：(4,5)。我们分别用两种方法计算相似度。使用余弦相似度得出的结果是0.98，看起来两者极为相似，但从评分上看X似乎不喜欢这两个东西，而Y比较喜欢。造成这个现象的原因就在于，余弦相似度没法衡量每个维数值的差异，对数值的不敏感导致了结果的误差。

需要修正这种不合理性，就出现了调整余弦相似度，即所有维度上的数值都减去一个均值。
比如A和B对两部电影评分的均值分别是(1+4)/2=2.5,(2+5)/2=3.5。那么调整后为A和B的评分分别是：(-1.5,-1.5)和(1.5,2.5)，再用余弦相似度计算，得到-0.98，相似度为负值，显然更加符合现实。
修正的余弦相似度可以说就是对余弦相似度进行归一化处理的算法，公式如下：

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2.欧几里得距离

通过两个点(向量)的欧式空间距离来判断相似度

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标准化欧式距离公式：

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python实现

余弦相似度使用scipy.spatial.distance.cosine(u，v)
需要注意的是这里公式有所变动：

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这样取值就在[0,2]。
欧式距离scipy.spatial.distance.euclidean(u，v)

Reference：
[1] 相似度计算之余弦相似度
[2] 相似度计算之欧几里得距离