不同路径

题目描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

image

示例：输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下

2. 向右 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向右
Java代码：

class Solution {
    //我们令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径
    // 动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    //注意，对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为 1
    //时间复杂度：O(m*n)
    //空间复杂度：O(m * n)
    //优化：因为我们每次只需要 dp[i-1][j],dp[i][j-1]

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0;i < m;i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i = 0;i < n;i++) dp[0][i] = 1;
        for(int i = 1;i < m;i++) {
            for(int j = 1;j < n;j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public int uniquePaths2(int m, int n) {
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur, 1);
        for(int i = 1;i < m;i++) {
            for(int j = 1;j < n;j++) {
                cur[j] += cur[j - 1];
            }
        }
        return cur[n - 1];
    }
}