Adaboost 算法

本文结构：

• 什么是集成学习？
• 为什么集成的效果就会好于单个学习器？
• 如何生成个体学习器？
• 什么是 Boosting?
• Adaboost 算法？

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什么是集成学习

集成学习就是将多个弱的学习器结合起来组成一个强的学习器。

这就涉及到，先产生一组‘个体学习器’，再用一个策略将它们结合起来。

个体学习器可以选择：决策树，神经网络。
集成时可以所有个体学习器属于同一类算法：全是决策树，或全是神经网络；也可以来自不同的算法。
结合策略：例如分类问题，可以用投票法，少数服从多数。

之所以用这种集成的思想，是因为单独用一个算法时，效果往往不容易达到很好，但如果多个个体算法结合在一起，取长补短，整体效果就会比单独一个要强。

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什么时候集成的效果就会好于单个学习器

当然集成并不是不管怎么选择学习器，怎么组合都一定会获得更好的效果，最好的情况是，每个学习器都不是特别差，并且要具有一定的多样性，否则可能集成后的会没有效果，或者起负作用：

来证明一下：

假设个体学习器的错误率为 ε，

假设错误率相互独立，由 Hoeffding 不等式可得到整体学习器的错误率为：

由不等式的右边可知，如果将学习器的数目 T 逐渐增大，那么整个学习器的错误率将指数级下降，甚至最终趋向于零。

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这里提到了‘错误率相互独立’的假设，这就是集成学习的一个核心问题：
如何生成准确性又不是很差，并且还能保证多样性的个体学习器呢

目前主要有两种生成方式：

Boosting：个体学习器间存在强依赖关系，必须串行生成。
Bagging，随机森林：个体之间不存在强依赖关系，可并行生成。

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Boosting 思想：
给定初始训练数据，由此训练出第一个基学习器；
根据基学习器的表现对样本进行调整，在之前学习器做错的样本上投入更多关注；
用调整后的样本，训练下一个基学习器；
重复上述过程 T 次，将 T 个学习器加权结合。

根据 Boosting 的定义，它有三个基本要素：
基学习器
组合方式
目标函数

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Boosting 的代表是 Adaboost：
AdaBoost方法相对于大多数其它学习算法而言，不会很容易出现过拟合现象。

Adaboost 算法

• 第 1 行，初始化样本权重分布，此时每个数据的权重是一样的，所以是 1/m；
  以分类问题为例，最初令每个样本的权重都相等，对于第 t 次迭代操作，我们就根据这些权重来选取样本点，进而训练分类器 C_t。

• 第 2 行，进入 for 循环 T 次，即基学习器的个数为 T 个；

• 第 3 行，根据具有当前权重分布 D_t 的数据集，学习出 h_t；
  前一个分类器分错的样本会被用来训练下一个分类器。
  h_t 是分量分类器 C_t 给出的对任一样本点 xi 的标记（+1或-1），h_t(xi) = yi 时，样本被正确分类。

• 第 4 行，计算当前学习器的误差；

• 第 5 行，如果误差大于 0.5，就停止；
  AdaBoost 方法中使用的分类器可能很弱（比如出现很大错误率），但只要它的分类效果比随机好一点（比如两类问题分类错误率略小于0.5），就能够改善最终得到的模型。

• 第 6 行，计算当前学习器的权重 α_t；
  权值是关于误差的表达式，当下一次分类器再次错分这些点之后，会提高整体的错误率，这样就导致分类器权值变小，进而导致这个分类器在最终的混合分类器中的权值变小，也就是说，Adaboost算法让正确率高的分类器占整体的权值更高，让正确率低的分类器权值更低，从而提高最终分类器的正确率。

• 第 7 行，得到下一时刻的权重分布 D_t＋1.
  如果某个样本点已经被准确地分类，那么在构造下一个训练集中，它被选中的概率就被降低；相反，如果某个样本点没有被准确地分类，那么它的权重就得到提高。通过这样的方式，AdaBoost 方法能“聚焦于”那些较难分（更富信息）的样本上。

最后的总体分类的判决可以使用各个分量分类器加权平均来得到，
再取符号，这样，最后对分类结果的判定规则是：

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举个例子

图中“+”和“-”表示两种类别，
共10个样本，故每个样本权值为0.1，

第一次划分有3个点划分错误，根据误差表达式得到误差：e1=（0.1+0.1+0.1）/1.0=0.3

分类器权重：

根据算法，对于正确分类的7个点，权值不变，仍为0.1, 对于错分的3个点，权值为：
D1=D0*(1-e1)/e1=0.1*(1-0.3)/0.3=0.2333

第二次分类，有3个 "-" 分类错误，按照算法计算如下：
上轮分类后权值之和为：0.17+0.23333=1.3990
分类误差：e2=0.1*3/1.3990=0.2144
分类器权重 a2=0.6493
错分的3个点权值为：D2=0.1*（1-0.2144）/0.2144=0.3664

第三次：

最后将三次的分类器结合起来，得到上面的分类结果：

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接下来看 α_t , D_t 是怎么推导出来的

我们最后学习出来的预测数据的模型为 H：

即强学习器是基学习器的线性组合形式。

目标函数用指数损失函数：

为什么目标函数用指数损失函数?

当我们用指数损失函数时，

我们需要求得 H 使得损失函数达到极小，那么就想到求偏导，

并使其为 0，得到 H 的形式：

那么最终的判定规则为：

说明若指数损失达到最小，则分类错误率也将最小化，也就是说指数损失可以作为分类任务 0 1 损失的替代函数，因为它连续可微，就用它来替代 0 1 损失函数作为优化目标。

第一个基学习器由初始数据得到，之后的 α_t , h_t 都是迭代产生。

第 6 行： α_t

想要求得 α_t 使得 α_t＊h_t 最小化指数损失函数：

那就需要对 α_t 求导：

使导数为 0 后得到 α_t 的解为：

第 4，5 行： h_t 的条件

学习到 H_t－1 后，希望下一个 h_t 可以纠正 H_t－1 的全部错误，即使下面的目标函数达到最小：

经过一系列推导后，可得到理想的基学习器为：

即理想的 h_t 将在分布 D_t 下最小化分类误差，也就是在用 D_t 训练 h_t 时，分类误差应小于 0.5。

第 7 行：再推导一下 D_t 和 D_t－1 之间的关系

这样就推导出了 Adaboost 算法。

参考：
《机器学习》
https://zh.wikipedia.org/wiki/AdaBoost
http://blog.csdn.net/iemyxie/article/details/40423907

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