美丽的圆
问题一：已知一个圆的周长是6.28分米，求这个圆的面积。
解答：r=6.28÷2π=1（分米） S=πr²=3.14×1²=3.14（平方分米）
分析：这是一道常见的已知周长求面积的题目，所使用的知识点是苏教版五年级下册《圆的面积》。学生可以利用C=2πr或C=πd，求出该圆的半径或直径，再利用S=πr²求解。
但是，在《九章》中，提出了这样一种解法：S=C²÷π÷4（传统解法中π取3，所以原文是S=C²÷12，这里传化了一下。）这样，问题一可以这样来解。
解答：S=C²÷π÷4=6.28²÷π÷4=（2π）²÷π÷4=3.14（平方分米）
其实，这不过是对圆的面积公式进行了简单的变换而已。如下图：
公式变形（1）
这样的变化让我们绕过求圆的半径，可以利用周长直接求解面积。除了这一点好处之外，它的优越性到底体现在哪里？让我们一探究竟。
《九章》中关于圆的面积记录了4种算法，我们以问题二为例进行说明；
问题二：现有圆形田，圆周长为30步，直径为10步。问田的面积是多少？（步：古代的计量单位）
算法一：以圆周之半与半径相乘可得到圆田的面积。
算法一及公式推导
算法二：圆周与直径相乘，除以4。
算法二及公式推导
算法三：直径与直径相乘，乘以3除以4。（备注：古代算法中π取3，所以这里的×3就是×π，在公式推导中已经转化过来了。）
算法三及公式推导
算法四：圆周与圆周相乘，除以12（这里的除以12就相当于除以除以π再除以4）
算法四及公式推导
综上，我们就得到了圆面积的四种不同公式；
公式汇总
这样的四种算法都可以变换成S=πR²。
从教学的角度考虑：在日常的教学中可能我们会更加注重学生对基本公式的记忆与运用，这种公式的变形往往被忽视，所以《九章》中的这四种算法对于学生理解公式之间的关系有很大的启迪作用，可以锻炼学生公式的互化能力。若是能够熟练的运用，则会减少不必要的解题步骤，简化过程。但是，从另一个角度思考，也会增加部分学生的记忆负担，小学课标中并没有明确提出学生需要掌握变形公式的能力，而这一点，往往到初中才会强调。
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