不动点定理的应用：积分方程和微分方程

上一节学习了一个基础的不动点定理，在巴拿赫空间中，闭集上的收缩算子存在唯一的不动点。

现在考虑其应用：

积分方程，对于中文互联网上不多见，搜索不到多少东西。不过积分方程在数学物理中具有很高的价值，通常而言的本征值问题，最初就是从积分方程中得出的，可以了解一下柯朗，希尔伯特的数学物理方法一书，可以说是开山之作了，里面就专门介绍了线性积分方程理论。不过，这本书时代过于久远，所以看上去很不习惯，很多概念都过时了。看这本书其实也是为了以现代语言学习积分方程。

积分方程，本身可以视为一个算子，于是可以化为不动点问题。

接下来只要证明这个算子A满足定理条件即可，这就需要对参数值和函数添加一定的限制，这些限制条件是为了满足定理条件而引入的，所以可由证明中得出，这里就不写了。

于是，对于特定的情况下，这个不动点问题有唯一解，可以进行迭代求解。这就是积分方程的迭代法求解的原理。

对于微分方程，采用了取巧的方式，任意的一阶微分方程总可化为积分方程

这样只要证明积分方程有解，那微分方程自然有解。而且可以进行迭代求解，这种迭代法的收敛性由一个定理给出。自然，对于这种微分方程也是有条件限制的。这就与微分方程的适定性理论联系起来了。著名的皮卡定理。

巴拿赫不动点，核心就是一个压缩映射，因为巴拿赫空间一般是满足的，常用的就是闭区间上的连续函数空间，不管是一元的还是多元的没有什么太大区别。所以，只要能证明一个算子是收缩的，问题就自然获得了解决。这种普遍性，使得不动点定理在非线性泛函分析中也能发挥巨大作用。就比如上面的算子方程的例子，并没有限定算子必须是线性的。