开集和闭集应该是非常基础的东西了，开集就是拓扑的子集，拓扑就是空间的一个子集族，规定了什么是开集。不过这是涉及的是赋范空间，或者说距离空间，相比于一般的拓扑空间，性质要好很多，通过范数定义开集，就是开邻域，球形邻域之类的东西，到某点距离小于伊普西龙，，对于开集，其中每点都有这样的球形邻域。开集的余集就是闭集，所以闭集定义为余集是开集。
闭集的性质，对闭集内的任意收敛序列，极限均在闭集中，反映了对序列极限的封闭性。同样可以定义闭球。
算子就是赋范空间之间的函数，对于线性空间而言就是线性变换，或者线性映射，不过，赋范空间一般都是和函数空间联系的，所以使用算子的叫法以示区别。算子既然是函数，自然可以把抽象函数理论中的各种概念迁移过来，定义域，陪域，值域，像，逆象，还有单射，满射，双射，以及映射合成。这一套东西，非常基础，每到一个新的环境，都要重新说明一遍。
当陪域是数域时，算子也被称为泛函，。
这样就完了，还是应该拓展一下。
算子，一般遇见的是积分变换算子，通过与核函数乘积积分而变换为另一个函数，也就是傅里叶变换，拉普拉斯变换之类的东西，这个核函数经过图像处理的广泛应用，多少得到了解释，本质上反映了对函数某一部分的关注程度，也就是保留一些范围的函数值，舍弃另一些函数值，增大一些值，减小一些值，对于图像的处理结果就是有的地方变模糊了，有的地方变清晰了，通过合理的选取核函数，就能提取出一些图像的特征，比如直线，圆，方块之类的东西。所以在实用的角度，也是非常重要的，对于各种模式的识别都要依赖于这种特殊的函数。这种模式不局限于图像，声音，文字，只要是信息，都可以构建出对应的核函数，或许当信息论，机器识别基础变成了大众学问时，这种核函数理论就会成为新的线性代数，让学生欲罢不能，看不懂还必须学。
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