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马尔可夫不等式和切比雪夫不等式

马尔可夫不等式和切比雪夫不等式

作者: Boye0212 | 来源:发表于2020-12-10 17:52 被阅读0次

Markov's Inequality

中文叫马尔科夫不等式或马尔可夫不等式。

若随机变量X只取非负值，则\forall a>0，有
\mathbb{P} (X\ge a) \leq \dfrac{\mathbb{E}(X)}{a}

证明：
取Y_a=a\mathbb{I}(X\ge a)，则必有Y_a\leq X，进而有\mathbb{E}(Y_a)\leq \mathbb{E}(X)。

而
\begin{aligned} \mathbb{E}(Y_a)&=a\cdot\mathbb{P} (X\ge a)+0\cdot\mathbb{P} (X< a)\\ &=a\cdot\mathbb{P} (X\ge a) \end{aligned}

因此有a\mathbb{P}\leq \mathbb{E}(X)，得证。

以上证明非常简单，如果想直观地理解一下，就是将整个X的分布减小（分布图像向左移）到0和a处两个部分，减小后的分布的期望一定小于原来的期望。如下图：

Markov's Inequality

如果用积分形式来证，也非常直接：

\begin{aligned} \mathbb{E}(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\\ &\ge\int_{a}^{\infty}xf(x)dx \quad (a\ge 0)\\ &\ge\int_{a}^{\infty}af(x)dx\\ &=a \int_{a}^{\infty}f(x)dx\\ &=a \mathbb{P} (X\ge a) \end{aligned}

Markov's inequality用得非常少，因为它给出的上界宽松了，但用它可以证明另一个著名的不等式——Chebyshev's inequality，中文叫切比雪夫不等式。

Chebyshev's Inequality

假设随机变量X有均值\mu、方差\sigma^2，则\forall c>0，有：

\mathbb{P} (\vert X-\mu\vert \ge c) \leq \dfrac{\sigma^2}{c^2}

证明：

取Y=(X-\mu)^2，则它非负，而c^2也非负，使用Markov's Inequality，有：

\mathbb{P} (Y\ge c^2) \leq \dfrac{\mathbb{E}(Y)}{c^2}

而\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]=\sigma^2，Y\ge c^2与\vert X-\mu\vert \ge c又是等价的，因此得证。

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