马尔可夫不等式和切比雪夫不等式

Markov's Inequality

中文叫马尔科夫不等式或马尔可夫不等式。

若随机变量只取非负值，则，有

证明：
取，则必有，进而有。

而

因此有，得证。

以上证明非常简单，如果想直观地理解一下，就是将整个的分布减小（分布图像向左移）到和处两个部分，减小后的分布的期望一定小于原来的期望。如下图：

Markov's Inequality

如果用积分形式来证，也非常直接：

Markov's inequality用得非常少，因为它给出的上界宽松了，但用它可以证明另一个著名的不等式——Chebyshev's inequality，中文叫切比雪夫不等式。

Chebyshev's Inequality

假设随机变量有均值、方差，则，有：

证明：

取，则它非负，而也非负，使用Markov's Inequality，有：

而，与又是等价的，因此得证。