现代控制理论入门4:轨迹跟踪

作者: 飞多多 | 来源:发表于2020-07-02 18:54 被阅读0次

轨迹跟踪和参数跟踪有点类似，主要是通过变量替换，然后通过配置参数来消掉方程中的一些额外项、配置极点等。
PART I
轨迹跟踪与参数跟踪最大的区别在于参数是常数，求导之后就等于零，而轨迹跟踪的函数曲线求导后不等于零。因此带来了我们需要额外凑配的系数。
我们假设需要跟踪的函数为 $f$ ，系统的过程方程仍然为
$\dot{x}=Ax+Bu\tag{1}$
我们还是定义目标函数与系统状态量之间的误差为新的代换变量 $y=x-f$ ，同样的， $x=y+f, \dot{x}=\dot{y}+\dot{f}$ ，带入上式得到：
$\dot{y}+\dot{f}=A(y+f)+Bu\tag{2}$
整理一下：
$\dot{y}=Ay+Af-\dot{f}+Bu \tag{3}$
同之前一样，我们要通过配置 $u$ 来校区 $Af-\dot{f}$ 两项。我们令 $u=Ky+Mf+N\dot{f}$ ，带入上式中，并整理得到：
$\dot{y}=(A+BK)y+(A+BM)f+(BN-1)\dot{f} \tag{4}$
通过 $K$ 来配置 $y$ 的极点，通过 $M$ 和 $N$ 消去 $f$ 和 $\dot{f}$ ，最后把 $K,M,N$ 带入u中，并将 $y$ 替换成x，就能得到闭环控制的输入u。

PART II

现在 $\dot{x}=2x+u$ 的实例来进行说明。
假设我们要跟踪的函数是 $s(t)$ ，令 $y=x-s$ ，则 $x=y+s, \dot{x}=\dot{y}+\dot{s}$ ，带入系统过程方程中，
$\dot{y}+\dot{s}=2(y+s)+u \tag{5}$
整理得
$\dot{y}=2y+2s-\dot{s}+u \tag{6}$
令 $u=Ky+Ms+N\dot{s}$ , 带入上式，得到：
$\dot{y}=2y+2s-\dot{s}+(Ky+Ms+N\dot{s})=(2+K)y+(2+M)s+(N-1)\dot{s} \tag{7}$
我们选择-1为配置极点，则有：
$\left\{ \begin{matrix} K=-3 \\ M=-2 \\ N=1 \end{matrix} \right. \tag{8}$
带入u中，并用x替换y，得到
$u=-3(x-s)-2s+\dot{s} =-3x+s+\dot{s} \tag{9}$
基于（9）式，我们构建simulink，得到如下图的结果：