现代控制理论之于经典控制理论,控制过程更加精细.经典控制理论像是一个大楼,包含了出口和入口,你从入口进去,然后从出口出来.中间你不知道你经过了什么过程.而现代控制理论不光知道出口和入口,你还能知道楼层,电梯,楼梯之间的连接关系.但从本质上来说,两者是一样的,都是关于微分方程的解的研究.

PART I ：系统稳定条件

动态系统的基本方程为:

其中,是系统的状态量,是关于时间的函数，这里是简写，实际应该记作。系统的观测输出,是控制量。首先，我们来讨论最简单的情况，即，

该微分方程的解的为：

如果A是一个标量，显然， 为了保证系统随时间收敛，即，我们知道A应该满足A<0的条件。进一步的，如果A是矩阵，那么A应该满足什么条件来保证其收敛性呢，答案是：A的所有特征值的实部应当小于0.下面简单说明一下这个原因。
首先考虑A是方阵的情况;

显然，方程（4）可以拆分成n个等式（3），要保证状态变量的n个分量都收敛，显然要满足。因为对角线矩阵的对角元素就是矩阵的特征值，显然满足上述结论。如果A是可逆的方阵，我们通过相似变换，存在可逆矩阵P，使得：

其中，是有A的特征值所组成的对角阵。然后(2)式可以写成：

记,则,带入(5)式子，则：

(6)与(5)具有相同的形式，因此，当的所有对角元素都小于0时，y是收敛的，而y是x的线性变换，两者具有等价的收敛性。因此，x收敛的条件就是A的所有特征值小于0.
以上的说明都是粗略的、不严谨的，主要是突出一个大致原理。事实上，A的特征值会存在虚部的情况，从上面的过程可以看出，矩阵的特征值是作用于e的指数上的，而如果A的特征值存在虚部，那么根绝欧拉公式, 会在系统中引入震荡。但是如果我们的实部部分如果小于零，系统仍然会震荡收敛，如果实部大于零，会震荡发散，如果实部等于零，会稳定震荡。