线性代数笔记22

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-03-02 21:05 被阅读0次

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对角化和A的幂

将A对角化

$S^{-1}AS=\Lambda$
S：将矩阵A的特征向量按列组成矩阵S，A的特征向量矩阵
而S需要是可逆的
所以需要n个线性无关的特征向量

$AS=A\begin{bmatrix}x_1 &x_2 &\cdots &x_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1} x_1& \lambda_{2} x_2& \cdots &\lambda_{n} x_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1 &x_2 &\cdots &x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 & 0\\ 0& \lambda_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n} \end{bmatrix}=S\Lambda$
$x_n$ 为A的特征向量, $\Lambda$ 为特征值矩阵（对角矩阵）

$AS=S\Lambda \\ S^{-1}AS=\Lambda \\ A=S\Lambda S^{-1}$

如果 $Ax=\lambda x$
那么 $A^2x=\lambda Ax=\lambda ^2x$
所以 $A^2$ 的特征值是 $\lambda ^2$ ，而特征向量不变，还是x
$A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S\Lambda^2 S^{-1}$

由上面可以得到
$A^k=S\Lambda^k S^{-1}$

定理： $A^k \rightarrow 0$ 随着 $k \rightarrow \infty$
必要条件是所有的特征值小于1

如果所有的特征值都不同，那么A就有n个线性无关的特征向量，可对角化
如果有重复的特征值，可能有也可能没有n个线性无关的特征向量，如单位矩阵

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