交换律的例子是加法,
3+4 = 4+3 = 7
我们可以把它想象为这样的过程,先在桌上放4枚硬币,然后再在桌上放3枚硬币,这时桌上总共有7枚硬币。我也可以先在桌上放3枚硬币,然后再在桌上放4枚硬币,最后还是7枚。
我们可以把在桌上放4枚硬币这个操作记为A,把在桌上放3枚硬币的这个操作记为B,那么BA是等于AB的。
BA表示先进行A这个操作,然后再进行B这个操作,BA或AB就表示做事情的顺序,我们这里BA是等于AB的,即做事情的次序并不影响做事情的结果。
但有时次序会影响到做事的结果。我们可以举出很多这样的例子,比如做菜的时候,是先放酱油?还是先放醋?也许对菜的口味就会有影响。
我喜欢举的例子是穿衣服,出席正式的晚宴需要穿裙子。我可以先穿裙子(A),也可以先穿内裤(B),此时AB就等于BA,即符合交换律,如果我们把穿衣服看做是一种代数运算的话,我们现在得到的就是对易的代数。
我还可以穿长裤,理论上讲我也可以先穿长裤(A),或者先穿内裤(B),此时AB就不等于BA了,交换律不存在了,穿长裤的代数是不对易代数。我们在做不对易代数的运算的时候不能随便交换AB的次序。
在量子力学中物理量用算符表示,一般而言算符的运算和次序有关,比如位置算符x和动量算符p都可以对量子力学的态(state)进行运算,这里量子力学的态就相当于“人”。对人而言,我们选择先穿长裤,还是先穿内裤。对量子力学的态而言,我们选择是先用x对其运算,还是先用p对其运算,这里次序就很重要,xp是不等于px的。
除了位置算符和动量算符,量子力学中的角动量算符,比如自旋角动量的x分量和自旋角动量的z分量,它们也不对易。自旋有一个好处,即自旋可以表示为一个2乘2的方阵,我们可以通过矩阵运算很直观地看出自旋的x分量和自旋的z分量是不对易的。
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谢尔顿说好的汉堡要按次序来,全麦面包,放芝士和生菜,而不是相反。因为这样芝士可以充当全麦面包的防水隔离。
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